第一章2、已知线性移不变系统的输入为()x n ，系统的单位抽样相应为()h n ，试求系统的输出()y n 。

（2）3()(),x n R n = 4()()h n R n =解：此题考察线性移不变系统的输出为激励与单位抽样相应的卷积，即：()()*(){1,2,3,3,2,1}y n x n h n == 4、判断下列每个序列的周期性，若是周期性的，试确定其周期。

3()cos()78x n A n ππ=-解：03 ()cos()78314 N=2/2/7314,3x n A n k k k k ππππωπ=-==∴=是周期的，周期是。

6、试判断系统的线性和移不变性。

()2(2) ()y n x n =⎡⎤⎣⎦解：()2()y n x n =⎡⎤⎣⎦()[]()[]2111)(n x n x T n y ==()()[]()[]2222n x n x T n y ==()()()[]()[]212121n bx n ax n by n ay +=+()()[]()()[]()[]()[]()()()()[]()()n by n ay n bx n ax T n x n abx n bx n ax n bx n ax n bx n ax T 2121212221221212 +≠+++=+=+即()[]()[]()()[]()[]()系统是移不变的即∴-=--=--=-m n y m n x T m n x m n y m n x m n x T 228、以下序列是系统的单位抽样响应()h n ，试说明系统的因果性和稳定性。

（4）3()nu n - 解：因果性：当0n <时，()0h n ≠，∴是非因果的；稳定性：0123|()|3332n h n ∙∙∙∞--=-∞=+++=∑，∴是稳定的。

11、有一理想抽样系统，抽样角频率为6s πΩ=，抽样后经理想低通滤波器()a H j Ω还原，其中1,3()20,3a H j ππ⎧Ω<⎪Ω=⎨⎪Ω≥⎩今有两个输入，12()cos2,()cos5a a x t t x t t ππ==。

输出信号有无失真？为什么？解：要想时域抽样后能不失真的还原出原始信号，则要求抽样频率大于2倍信号频谱的最高频率，即满足奈奎斯特抽样定理。

根据奈奎斯特定理可知：失真。

频谱中最高频率无失真。

频谱中最高频率)(3265 , 5cos )()(3262, 2cos )(222111t y t t x t y t t x a a a a a a ∴=>==∴=<==∙∙∙∙∙∙ππππππππΩΩ第二章1、求以下序列的z 变换，并求出对应的零极点和收敛域。

（1）||(),||1n x n a a =<解：由Z 变换的定义可知：11212()111(1)(1)1(1)1()()nnn nn nn n n n n n nn n X z azaza z a z a z az a a az az az z a z a z z a a ∞-∞----=-∞=-∞=∞∞-==-=⋅=+=+-=+=-----=--∑∑∑∑∑∞====<<<<z z az a z a z a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域： 2、假如()x n 的z 变换代数表示式是下式，问()X z 可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？)83451)(411(411)(2122----+++-=z z z z z X 解：对X(z)的分子和分母进行因式分解得11211111111(1)(1)22()113(1)(1)(1)424112113(1)(1)(1)224Z Z X Z Z Z Z Z jZ jZ Z ----------+=+++-=+-+X(z)的零点为：1/2 ， 极点为： j/2 , -j/2 , -3/4∴ X(z)的收敛域为：(1) 1/2 < |z | < 3/4 , 为双边序列系统不是线性系统∴000()sin[()]sin[]x n N A n N A N n ωφωωφ+=++=++02N k ωπ=02kN πω=(2) | z | < 1/2 , 为左边序列 (3) |z | > 3/4 ， 为右边序列6. 有一信号)(n y ,它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的关系是：)1()3()(21+-*+=n x n x n y其中)(21)(1n u n x n⎪⎭⎫ ⎝⎛=，)(31)(2n u n x n⎪⎭⎫ ⎝⎛=，已知111)]([--=az n u a Z n ，a z >， 。

变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z解：根据题目所给条件可得：112111)(-Z-−→←z n x 123111)(--−→←z n x Z131211)3(--−→←+⇒z z n x Z 21>zz z X n x Z 3111)()(122-=−→←-- 311>-zz z n x Z 311)1(12-−→←+-- 3<z 而 )1( )3()(21+-*+=n x n x n y所以[][]123113()(3)(1)1111233(3)()2Y z Z x n Z x n z z z z zz z --=+⋅-+=⋅--=---12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统)1()2()1()(-+-+-=n x n y n y n y(1) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(2) 求此系统的单位抽样响应；(3) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。

解：（1）对题中给出的差分方程的两边作Z 变换，得：)()()()(121z X z z Y z z Y z z Y ---++=所以))((1)()()(21211a z a z z z z z z X z Y z H --=--==--- 零点为z=0，极点为()62.1515.01=+==a z ∞=z ()62.0515.02-=-==a z因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。

（2）1212121112121200121 ()()()111111n n n n n n z z z H z z a z a a a z a z a a a a za z a z a z a a --∞∞--==⎡⎤==-⎢⎥-----⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥---⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑∑()62.0 , 62.1 )(1)( 212121-==--=a a n u a a a a n h nn 式中所以由于)(z H 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。

（3）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选)(z H 的收敛区域为 12a z a <<，即 62.162.0<<z ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=21211)(a z z a z z a a z H中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。

1120121()n n n n n n H z a z a z a a -∞--=-∞=⎡⎤∴=--⎢⎥-⎣⎦∑∑()[])()62.0()1()62.1(447.0)()1(1)(2112n u n u n u a n u a a a n h n n nn -+--⨯-=+---=则有 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。

13、研究一个输入为)(n x 和输出为)(n y 的时域线性离散移不变系统，已知它满足)()1()(310)1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的。

试求其单位抽样响应。

解：对给定的差分方程两边作Z 变换，得：)31)(3( 3101)()()()()()(310)(11--=+-===+---z z zzz z X z Y z H z X z zY z Y z Y z 则： 31,3 21==z z 极点为，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取 1/3|| 3 z <<。

利用第十二题(3)的结果123,1/3a a == 即可求得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+---=)(31)1(383)(n u n u n h nn第三章1、如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

552660022222234566666X()()()1412108610j nk nk n n j k j k j k j k j k k x n Wx n eeeeeeππππππ-==-----===+++++∑∑解：计算求得：(0)60;(1)933; (2)3 3 ;(3)0; (4)33;(5)93 3 X X j X j X X j X j ==-=+==-=+。

3.设1,04(),0n n x n n+≤≤⎧=⎨⎩，其它4()(2)h n R n =-。

令66()(()),()(()),x n x n h n h n ==试求()()x n h n 与的圆周卷积并作图。

解：在一个周期内的计算值()()*()()y n x n hn h n m ==-如下图所示：8、如下图表示一个5点序列()x n 。

（1）试画出1()()()y n x n x n =*； （2）试画出2()()()y n x n x n =⑤； （3）试画出3()()()y n x n x n =⑩。

解：由图可知(){1,0,2,1,3|0,1,2,3,4}x n n ==则（1）线性卷积()()x n x n *为 ()()()(),m x n x n x m x n m n ∞=-∞*=--∞<<∞∑1 02 13 1 0 2 1 3 3 0 6 3 91 02 13 2 04 2 61 02 13 1 04 2 10 4 13 6 9 故，()()1()y n x n x n =*={1, 0, 4, 2, 10, 4, 13, 6, 9; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}(2) 利用圆周卷积是线性卷积以5点位周期的周期延拓序列的主值序列，故2(0)y =1+4=5； 2(1)y =0+13=13；2(2)y =4+6=10；2(3)y =2+9=11；2()y n =()x n ⑤()x n ={5,13,10,11,10;n=0,1,2,3,4}(3) 当圆周卷积的长度大于等于线性卷积非零值长度时，两者相等，故3()()()y n x n x n =⑩={1,0,4,2,10,4,13,6,9,0; n=0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}14、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。