用向量证明三线共点与三点共线问题
山东徐鹏
三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则
简捷得多．
证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．
例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1，
A
B
C
O
图1
使得OC OA OB ；反之，也成立．
的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、
OC
AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC
例 2．证明：三角形的三条中线交于一点．
证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中
C
D
E
G
A F B
图２
点．
设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则
AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1
CA) b a (
1
a b)
1 (
2 1
b)
2
1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a
2 2 2
1
1 2
2 3 所以解得
1 2
1
2 3
则 CG CA AG a 2
AD a 2 ( a
1
b) 1 a 1 b
1 1 3
2
3 2 3 3
CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点．
2 2 3。