高等数学练习题 第二章 导数与微分第一节 导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= )(0x f '-2. 若)(0x f '存在，hh x f h x f h )()(lim000--+→= )(20x f ' .000(3)()limx f x x f x x∆→+∆-∆=03()f x '.3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim)000x f x x f xx 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（3π，21）处的切线方程为03123=--+πy x ，法线方程为0322332=-+-πy x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ⇔可导<≠⇒| 连续 <≠⇒ 极限存在。
二、选择题1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则xx f x )(lim0→= [ B ]（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 21)0(f2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 0 = [ B ]（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2ba +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。
（B ）连续，但不可导。
(C)可导，但不连续。
（D ）可导，且导数也连续。
三、设函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什么值。
解：由于)(x f 在1=x 处连续, 所以 )1()1(1)1(f b a f f =+===+-即1=+b a又)(x f 在1=x 处可导，所以2'11(1)lim 21x x f x --→-==-'1()(1)lim 1x ax b a b f ax ++→+-+==-有 2=a ， 1-=b 故 求得 2=a ， 1-=b 四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。
解：由于)(x f 是偶函数, 所以有 )()(x f x f -=0()(0)(0)lim 0x f x f f x →-'=-0()(0)lim 0x f x f x →--=-()(0)lim (0)x tt f t f f t=→-'==--令 即 0)0(2='f ， 故 0)0(='f五、 证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
解：222,xa y x a y -='=在任意),(00y x 处的切线方程为 )(02020x x x a y y --=-则该切线与两坐标轴的交点为：)2,0(02x a 和)0,2(0x所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为20222221a x x a A =⋅⋅=，（a 是已知常数） 故其值为定值.第二节 求导法则一、填空题1．x x y sin )sec 2(+=, y '=1cos 2tan2++x x ; x e y sin -=, y '=x xe sin cos --.2．)2cos(xe y =，y '= 2sin(2)x xe e -; y =x x2sin ，y '=22sin 2cos 2x x x x - 3．2tanln θρ=，ρ'=θcsc ; =r 2ln log 2+x x , r '=e x 22log log +4. )tan ln(sec t t w +=, w '=t sec . 2arccos()y x x =+，y '=5. ='+)1(2x 21xx +; (c x ++21 )'=21xx + .6. ]2tan [ln 'x = ; ( c x x +++)1ln(2)'=211x+ .二、选择题 1．已知y=xxsin ，则 y '= [ B ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2sin sin xx x x - (D)x x x x sin cos 23- 2. 已知y=xxcos 1sin + ，则 y '= [ C ] （A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) xx cos 11cos 2+-3.已知xe y sec =，则y '=[ A ]（A ）xxxe e e tan sec (B) x xe e tan sec(C) x e tan (D)xx e e cot4.已知)1ln(2x x y ++=，则y '=[ A ]（A ）211x + (B) 21x + (C)21x x + (D) 12-x 5.已知xy cot ln ==，则4|π='x y =[ D ]（A ）1 （B ）2 （C ）2/1- (D) 2- 6.已知xx y +-=11，则y '=[ B ] （A ） 2)1(2+x (B) 2)1(2+-x (C) 2)1(2+x x (D) 2)1(2+-x x三、计算下列函数的导数：(1) y =+ (2) )tan(ln x y =解：2311(ln )3y x x -''=+ 解：xx y 1)(ln sec '2= 23111(ln )33y x x x -'=+ )(ln sec 12x x= (3) v e u 1sin 2-= (4 ) )(ln sec 3x y =解：⋅-⋅=-v eu v1sin 2('1sin 2))1(1cos 2v v -⋅ 解：⋅=)sec(ln )(ln sec 3'2x x y xx 1)tan(ln ⋅v e v v 1sin 222sin 1-= )tan(ln )(ln sec 33x x x=(5) ln(y x =+ (6) 1arctan 1xy x-=+解：'y x =+ 解：211()111()1xy x x x-''=-+++=211x -=+=四、设)(x f 可导，求下列函数y 的导数dxdy （1）)()(x f xe ef y =(2))(cos )(sin 22x f x f y +=解：)()(''x f x x e e e f y ⋅⋅= 解：x x x f y cos sin 2)(sin ''2= )(')()(x f e e f x f x ⋅⋅+ 2'(cos )(2cos (sin ))f x x x +⋅-＝)()(')('[)(x x x x f e f x f e f e e+ ＝22sin 2('(sin )'(cos ))x f x f x -(3) )](arctan[x f y = (4))](sin[)(sin x f x f y += 解：)(')(11'2x f x f y ⋅+=解：+=x x f y cos )(sin '')('))(cos(x f x f ⋅ ＝)(1)('2x f x f + +=)(sin 'cos x x ))(cos()('x f x f第三节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1．设yxe y +=1，则y '=ye y-2 .2. 设)tan(r r +=θ，则r '=)(csc 2r +-θ .3. 设x yy x arctan ln22=+,则y '=yx y x -+ 。
4．设⎩⎨⎧==te y t e x t t cos sin ，则dx dy =t t tt cos sin sin cos +- ，3|π=t dx dy =23- 。
二、选择题1. 由方程0sin =+yxe y 所确定的曲线)(x y y =在（0，0）点处的切线斜率为 [ A ] （A ）1- （B ）1 （C ）21 （D ）21- 2.设由方程22=xy 所确定的隐函数为)(x y y =，则dy =[ A ]（A ）dx x y 2-（B ）dx x y 2 （C ）dx x y - （D ）dx xy3. 设由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数为)(x y y =，则dxdy=[ A ] （A ）y cos 22- （B ）y sin 22+ （C ）y cos 22+ （D ）xcos 22-4. 设由方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数为)(x y y =，则在2π=t 处的导数为[ B ]（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）21-5.设由方程arctan x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩)(x y y =，则=dx dy [ B ]（A（B ）1t（C ）12t ； （D ）t .三、求下列函数的导数dy dx1．222333x y a += ， 2. 33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩解:方程两边同时对x 求导,得 解: 223sin cos tan 3cos sin a t ty t a t t'==-- 113322'033x y y --+=y '= 3．2310xy x y ye +++= 4. x e x x y -=1sin解:方程两边同时对x 求导,得 解:)1ln(41sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=322230xxy xy x y y ye y e '''++++= )1(4sin 2cos 21'1xxe e x x x y y --++=322213xxxy ye y x y e +'=-++))1(4cot 221(1sin 'x xxe e x x e x x y --+-=四、求曲线⎩⎨⎧=--=+-0201sin 3θθθy e x x 在0=θ处的切线方程，法线方程 解: θθd dy )23(2+=0cos sin =+⋅-θθθd e dx e dx x xθθθsin 1cos x x e d e dx -=∴, 从而 θθθcos )sin 1)(23(2x x e e dx dy -+=当 0,1,0=-==y x θ,e dxdy20==θ故 切线方程为)1(2+=x e y 法线方程为)1(21+-=x ey第四节 高阶导数一、填空题１．设φφcos =r ，则r '=φφφsin cos - , r ''=φφφcos sin 2-- .2．设)1ln(2x x y ++=,则y '＝211x +，y ''＝2/32)1(x x+-3若)(2t f y =, 且)(t f '' 存在，则dt dy ＝)('22t tf ，22dty d =)(''4)('2222t f t t f +４．设yxe y +=1，则y '=y e y-2 , y ''=32)2()3(y y e y -- 5．设⎩⎨⎧-==arctgtt y t f x )(，且2tdx dy =，则22dx y d =t t 412+。