⎞ ⎟ ⎠
cosθ
+
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂y 2
sin θ
+
∂2u ∂y∂x
cosθ
⎞ ⎟
sin
θ
⎠
4
=
∂2u ∂x2
cos2
θ
+
2
∂2u ∂x∂y
sin θ
cosθ
+
∂2u ∂y 2
sin 2
θ
，
又 ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y = − ∂u r sinθ + ∂u r cosθ ，
∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂x
' v
(v)
⋅1+
gu'
(u)
⋅
y
=
−
sin(x + x+ y
y)
+
y
⋅
sin( xy) xy
=
−
sin(x + x+ y
y)
+
sin( xy ) x
同理，
f
' y
(
x,
y)
=
sin( xy ) y
−
sin(x + y) x+ y
例 5 设 z = f (x, y) 二阶连续可微，且 dz = (x2 − c) ydx + (ax3 + x + b sin xy)dy ，试确定常数 a,b, c
∂z = exy cos(x + y) ⋅1+ sin(x + y) ⋅ exy ⋅ y = exy [ y sin(x + y) + cos(x + y)],
∂x
∂z = exy cos(x + y) ⋅1+ sin(x + y) ⋅ exy ⋅ x = exy [ x sin(x + y) + cos(x + y)],
1 z
∂z ∂x
=
xy ⋅
2x x2 + y2
+
y ln(x2
+
y2)
，
1 z
∂z ∂y
=
xy
⋅
2y x2 + y2
+
x ln(x2
+
y2)
因此，
∂z ∂x
=
z
⎡ 2x2 y
⎢ ⎣
x2
+
y2
+
y ln(x2
+
y
2
⎤ )⎥
⎦
=
(x2
+
y2 )xy
⎡ ⎢ ⎣
2x2 y x2 + y2
+
y ln(x2
+
复合函数微分典型例题
例１ 设 z = eu sin v ，而 u = xy, v = x + y ，求 ∂z , ∂z ． ∂x ∂y
解法１ ∂z = ∂z∂u + ∂z∂v ∂x ∂u∂x ∂v∂x
= eu sin v ⋅ y + eu cos v ⋅1 = exy [ y sin(x + y) + cos(x + y)]
a= 1, 3
b = 0,
c = −1
例 6 设 z = f (xy, x + y), f 二阶连续可微，求 ∂2 z ∂x∂y
解： zx'
=
f1' y +
f2' ，其中
f1' =
f1' (xy, x + y),
f
' 2
=
f2' (xy, x + y) ，注意： f1' 和
f
' 2
仍上 x, y 的复合函数，求它们的偏导数时还要用链式法则求
r
cosθ
+r
cosθ
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂y 2
r
cosθ
+
∂2u ∂y∂x
r
sin θ
⎞ ⎟ ⎠
−
∂u ∂y
r
sin θ
=
∂2u ∂x2
r2
sin 2
θ
−
2
∂2u ∂x∂y
r2
sin θ
cosθ
+
∂2u ∂y 2
r2
cos2
θ
−
∂u ∂x
r
cosθ
−
∂u ∂y
r
sin θ
，
于是得到： 1 r
∂ ∂x
⎞ ⎟⎠
∂y ∂θ
⎤ ⎥ ⎦
−
∂u ∂x
r
cosθ
+r
cosθ
⎡∂
⎢ ⎣
∂x
⎛ ⎜ ⎝
∂u ∂y
⎞ ⎟ ⎠
∂x ∂θ
+
∂ ∂y
⎛ ⎜ ⎝
∂u ∂y
⎞ ⎟ ⎠
∂y ∂θ
⎤ ⎥ ⎦
−
∂u ∂y
r
sin θ
=
−r
sin θ
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂x2
r
sin θ
+
∂2u ∂x∂y
r
cosθ
⎞ ⎟ ⎠
−
∂u ∂x
∂y
例 2 设 z = (x2 + y2 )xy ，求 ∂z , ∂z ∂x ∂y
解法 1 令 u = x2 + y2 , v = xy 则 z = uv ，于是
∂z ∂x
=
∂z∂u ∂u∂x
+
∂z∂v ∂v∂x
=
vu v −1
⋅2x
+ uv
ln u
⋅
y
=
(x2
+
y2 )xy
⎡ ⎢ ⎣
2x2 y x2 + y2
1+ ux' + vx' = 0,
x
+
u
⋅
u
' x
+
vvx'
=
0
将
ux' , vx' ，看作未知量，用克莱姆法则解得： ux'
=
x−v v−u
, vx'
=
u v
−x −u
，第一个式子
两边对 x 求偏导，注意 u, v 是 x, y 的函数，得：
u '' xx
=
(1 −
vx' )(v
− u) − (x − v)(vx' (v − u)2
∂z − ∂z ∂x ∂y
解 记 F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − ϕ(x + y + z, x2 + y2 + z2 ) ，则
Fx'
=
2x
−
(ϕ1'
+
2
xϕ
' 2
),
Fy'
=
2y
−
(ϕ1'
+
2 yϕ2' ),
Fz'
=
2z
− (ϕ1'
+
2zϕ2' ) ，
∂z − ∂z = − Fx' + Fy' = 2(x − y)(1− ϕ2' ) ∂x ∂y Fz' Fz' 2z(1− ϕ2' ) − ϕ1'
5
例 10 求由方程 sin z = xyz 所确定的函数 z = z(x, y) 的偏导数 ∂z ⋅ ∂z ∂x ∂y
解法 1 令 F (x, y, z) = sin z − xyz ，则 Fx' = − yz, Fy' = −xz, Fz' = −xy, 故
∂z ∂x
=
−
Fx' Fz'
=
− − yz cos z − xy
⎛ ⎜⎝
r
∂u ∂r
⎞ ⎟⎠
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
=
1 r
∂u ∂r
+
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
=
∂2u ∂x2
(cos2
θ
+
sin 2
θ
)
+
∂2u ∂y 2
(cos2
θ
+
sin 2
θ
)
=
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
上面的计算过程是将 x, y 看作中间变量，r ，θ 看作自变量，自然也可以将 r,θ 看作中间变量， x ， y 看作自变量来计算
z"xy
= ( f1' y +
f2' ) y
=
f1' +
y(
f ''
11
y
+
f ''
12
)
+
(
f
'' 21
y
+
f '' 22
)
=
f1' +
y2
f ''
11
+
2
yf1'2'
+
f '' 22