关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。

解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h ..01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x xe x g xf x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.解 (1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛 ⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g xe x e x g x g x x g xf x x xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则=+x d y d dx dy22232])(1[定数。

证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22by a x y ++-=' 再导一次，,02222=''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.421...1)2(21...)1(222232定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴注c b a 42122-+恰是圆022=++++c y b x a y x 的半径. 习题4 证明：若)(x f 在),(+∞a 内可导，且,0)]()([lim ='++∞→x f x f x 则.0)(lim =+∞→x f x 证 作辅助函数,)(,)()(xxe x G e xf x F ==应Cauchy 中值定理..)()(,0,0,0)]()([lim εε<'+⇒>∀>∃>∀∴='++∞→x f x f A x A x f x f x A x >∀,由Cauchy 中值定理有x A G F A G x G A F x F <<''=--ξξξ,)()()()()()(（显然0)(≠'ξG ）或)()()()(1)()(ξξf f e e e A f e x f e e A f x f A x A x x A x A '+=--=---- 或 (*)......)1()()()()(x A x A e f f e A f x f --+⋅'++⋅≤ξξ 因 ,0lim =-+∞→xA x e即 .1,,11<<⇒>∀>∃--x A x A e e A x A A 与ε于是，εε2)()(1+⋅<⇒>∀A f x f A x .即.0)(lim =+∞→x f x 习题5 设)(x f 在),[+∞a 上有二阶导数，且,)(0M x f ≤).()(02+∞<≤≤''<x a M x f 证明.2)(20M M x f ≤'证 ),[+∞∈∀a x 以及任意),(,0+∞∈+>a h x h ，则有].,[,)(!21)()()(2h x x h f h x f x f h x f +∈''+'+=+ξξ即 ].,[),(2)]()([1)(h x x f hx f h x f h x f +∈''--+='ξξ 由题设知.0),,[,22)(20>+∞∈+≤'h a x M hh M x f 下面求,h 使 2022)(M h h M h g +=为最小。

为此令,0212)(220=+-='M h M h g 解出,2200M M h =而,04)(30>=''h M h g 故知)(h g 在0h 处为最小. .2)(200M M h g = 从而可知))()(),()(,0().,[,2)(020h g x f h g x f h a x M M x f ≤'≤'>∀+∞∈≤'故习题 6 设函数].1,0[)(C x f ∈在)1,0(内可导，且.1)1(,0)0(==f f 试证),1,0(,,,∈∃∀ηξb a 正数使得.)()(b a f bf a +='+'ηξ 证 取数).1,0(∈μ由介值定理知),1,0(∈∃c 使.)(μ=c f 在区间]1[c ],0[，与c 上分别应用微分中值定理有.0)(,0)(.01,0),1,0(,1,111)()1()(,0,0)0()()(≠'≠'≠-≠∴∈≠<<--=--='<<=--='ηξμμμξηημηξμξf f c cc c f f f c c c f c f f 即 从而.)1()(11)()(μμμμμμμηξ---+=--+='+'a b a c b cb c a f b f a 显然,当取 ,b a a +=μ 则,1ba b +=-μ 且).1,0(1,∈-μμ 代入得.)()(b a f bf a +='+'ηξ 习题7 求)1ln()(2x x x f +=在0=x 处的100 阶导数值。

解 由Taylor 公式有)(98...32)(100100543x o x x x x x f +--+-=.故).!97(99098!100)0(.981)0(!1001)100()100(⨯-=-=∴-=f f 习题8 设,2e b a e <<<证明 ).(4ln ln 222a b ea b ->-证 设,ln )(2x x f =应用Lagrange 中值定理有.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ又设,ln )(ttt =ϕ 则,ln 1)(2ttt -='ϕ当e t >时,,0)(<'t ϕ 此时 )(t ϕ 单减.从而 ),()(2e ϕξϕ>即).(4ln ln .2ln ln 222222a b ea b e e e ->-∴=>ξξ习题10 设)(),(x g x f 在),(+∞-∞内有定义，)(),(x f x f '''存在，且满足.0)()()()(=-'+''x f x g x f x f 如果),(0)()(b a b f a f <==求证 .,0)(b x a x f ≤≤=证 ],,[)(b a C x f ∈ 故 ],,[,b a ∈∃ηξ 使)}.({min )()},({max )(],[],[x f m f x f M f b a b a ====ηξ欲证.,0)(b x a x f ≤≤=只需证明.0==m M 反证法，若,0>M 则,0)(),(='⇒∈ξξf b a 又)(ξf 为极大，故.0)(≤''ξf 但另一方面,0)()()()()(>==+'-=''M f f g f f ξξξξξ矛盾。

故知.0=M 若,0<m 则仿上面的证明，有.0)(,0)(≥''='ξηf f 另一方面,0)()()()(<=+'-=''m f g f f ηηηη矛盾。

故.0=m 命题得证。

习题11设],,[)(b a C x f ∈在),(b a 内二阶可导，又设联结两点))(,()),(,(b f b a f a 的直线与曲线)(x f y =相交于点))(,(c f c ，求证：在),(b a 内至少存在一点,ξ使.0)(=''ξf证 对)(x f 在],[],,[b c c a 上分别应用Lagrange中值定理，),,(),,(21b c c a ∈∈∃ξξ使)()()(),()()(21ξξf cb c f b f f a c a f c f '=--'=--由于三点))(,()),(,()),(,(b f b c f c a f a 在同一直线上，所以).()(,)()()()(21ξξf f cb c f b f a c a f c f '='∴--=--再对)(x f y '=在],[21ξξ上应用Rolle 定理可得：),,(21ξξξ∈∃使.0)(=''ξf习题12 设)(,x f c b a <<在],[c a 上有二阶导数),(x f ''试证 ),,(c a ∈∃ξ使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--证 令)())(()())(())(()())(())(()())(()(x f b c a c c f b x a x c b a b b f c x a x c a b a a f c x b x x F -----+----+----=则)(x F 在],[c a 上二阶可导，且.0)()()(===c F b F a F 对)(x F 在],[],,[c b b a 上分别应用Rolle 定理，),,(),,(21c b b a ∈∈∃ξξ使.0)(,0)(21='='ξξF F 对),(x F '由于)(x F '在],[21ξξ上可导，再用Rolle 定理，),,(],[21c a ⊂∈∃ξξξ使得.0)(=''ξF 而 )())(()(2))(()(2))(()(2)(x f b c a c c f c b a b b f c a b a a f x F ''---+--+--=''令,ξ=x 即得所求证的等式。