考坐标系 Oxyz 做如下运动：① R（x, 90°）；② R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求点 Po'uvw在固定参考坐标系 Oxyz下 的位置。 解1：用画图的简单方法
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
x
2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义
x x wx t1
设T= y y wy t2 ，有一个手爪，已知其在∑O的位置，设一个
z z wz t3
0
0
0
1
该坐标系∑O´，已知， o' a1 b1 c1 ，那么∑O´在∑O中的齐次坐
1 0 0 a1
标变换为
T1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
b1
，如果手爪转了一个角度，
0
0
0
11
1
② R（z, 90°） ③ R（y, 90°）
0 -1 0 0 1 3
P'' 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 2 2
0
0
0
1
1
1
0 0 1 03 2
P '''
0
1
0
0 1
1
-1 0 0 02 3
0
0
0
1 1
1
（2-14） （2-15） （2-16）
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关
n
o
a
i
节变量空间之间的关系
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
z
w
已知： Puvw Pu iu Pv ju Pw kw
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P
v
o
Pv
y
Px Puvw ix ix (Pu iu Pv jv Pw kw )
(O')
Py Puvw jy jy (Pu iu Pv jv Pw kw ) x Pz Puvw jz jz (Pu iu Pv jv Pw kw )
kw
则 : pxyz RPuvw
反过来： Puvw R1 Pxyz
R 1 R* det R
由刚体的等距变换可知：
pT xyz
pxyz
pT uvw
puvw
将上式代入，可得： RT R I
R为正交矩阵。
R为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵， 因此R1 RT
由图可知，jv 在y轴上的投影为jy cos ，jv 在z轴上的投影
机器人运动学
第二章 数学基础
2.1 引言
机器人位置和姿态的描述
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
②绕X轴转动60º；③绕Y轴转动90º。求T。
cos30 sin 30 0 0
R1
s
in
30
0
cos30 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0
0 0
R2
0 0
c os60 sin 60
为 kz sin , kw 在y轴上的投影为 jy sin ， kw 在z轴上的投影为
kz cos ，所以有：
z
ix
i
ix jv
ix
kw
W'
R(x, ) jy i jy jv jy kw
w
k
z
i
kz jv
kz
k
w
V'
1 ix iu 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
U'
u
x
v' vy
• 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人 的运动学问题—D-H方法
• 具有直观的几何意义
• 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
• 其数学基础即是齐次变换
2.2 点齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
（ 2.3）
a×b =
ijk
ax ay az bx by bz
（2.4）
旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对
应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则
P点在ΣO´uvw中可表示为：
0 0 0
1
（2-20）
以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。
如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v轴转动90º；
③绕当前 w 轴转动90º；求合成旋转矩阵。
解1：用画图的方法
z w
v u o(o′) y
x
z
w′ o′ v′ u′
o
x
y
w″
z
o′
v″
u″
oy
x
解2：用计算的方法
z
v```
0 0 1 4 T Trans(4, 3, 7) R(y,90o ) R(Z,90o ) 1 0 0 3
o′ u``` w```
o
y
0 1 0 7
0 0 0
1
x
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意：旋转矩阵间不可以交换
z
平移齐次变换矩阵
c
1 0 0 a H Trans(a b c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
w′
o′ v′
u′
b
a x
oy
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经H变换为向量v可表示为
x + aw
z
Puvw Pu iu Pv ju Pw kw
iu 、jv、kw为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，
w
P
则P点在Σoxyz中可表示为：
o
v
(O')
y
Pxyz Px ix Py iy Pz iz Puvw Pxyz
u
x
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相 对于固定坐标系，轴相当于 X轴，v轴相对于 Y轴，w轴相当于 Z轴。
x
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、
y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，
z
0
图2.1 点向量的描述
即
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述 结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：

Py
R44
Pz 1
Pu
Pv
Pw 1
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
R44 R（y, )R(z,)R(x, )
定义1： 当动坐标系 O'uvw 绕固定坐标系 Oxyz 各坐标轴顺序有限次
O'
o
图2-5
vy
方向余弦阵
三个基本旋转矩阵:
同理：
1
R(x, ) 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
cos 0 sin
R（y,
)
0
1
0
sin 0 cos
cos - sin 0
R（z, ) sin cos 0
0
0 1
z
W'
w
o O'
u x
U'
z w
W'
o
O'
u
x
U'
vy
解1：用画图的方法：
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v```
7
o′ u```
w```
o(o′) v y
u x
o(o′) u′ y
o
x
x w″