极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<<b.则称函数f(x)在区间（a,b ）上极值点偏移；（1） 则称函数f(x)在区间（a,b ）上极值点偏移； （2）则称函数f(x)在区间（a,b ）上极值点偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程的解分别为且<<b.（1） 若则即函数f(x)在区间（a,b ）上极大值点右偏；（即峰偏右）（2） 若则即函数f(x)在区间上（a,b ）极小值点左偏;（即谷偏左）（3） 若则即函数f(x)在区间上（a,b ）极大值点左偏;（即峰偏左）（4） 若则即函数f(x)在区间上（a,b ）极小值点右偏;（即谷偏右）x= x=y=mxy=f(x) x= x=拓展：1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x 的图象关于直线2ba x +=对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称2） 若函数f(x)满足有下列之一成立：①f(x)在递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质：1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若则 <=>,(=0,);2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则则,及极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点；②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( ,F(x)=f(x)-f()确定F(x)单调性③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f(f(x)与f(的大小关系;答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证：①求函数f(x)的极值点；②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系;假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f(④1.（2016年全国I 高考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe -x（x ∈R ）.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e-令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

（2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而)1f(x >)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.3. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当 所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a +∞单调减少.（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->=从而1221021,.2x x x x x a a +>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '<4．已知函数 (m 若f(x)有两个极值点且求证::5. 已知函数=(a 若f(x)有两个不同零点且其极值点为求证:①②③（已知函数=(a，其图象与轴交于A()B()两点且求证：）6.已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：7. 已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：-18. 已知函数=f(求证:①②9．已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：10.已知函数=f(求证:11. 已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：12. 已知函数=(a若f(x)=c有两个不同根求证：13. 已知函数=(a①令g(x)在(0,3)单调递增求a范围;②当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(B(且又是h(x)导函数,满足证明14．已知函数(k①若;②若对都有f(x)求k范围;③若且f(证明：;15. 已知函数(a①②f(x)的极值点为若存在且求证:;16. 已知函数(a);①②若f(x) 存在两个极值点，证明：;17. 已知函数与g(x)=3-在(1,1)处有相同切线；①若y=2(x+n) 与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；②若两个极值点，证明：；18. 已知函数(a①②若f(x)=g(x)+(a+1)有两个不同零点, 证明：;19.已知函数,(a;①②若f(x)=lng(x)-a与y=m,(m图象有两个交点A、B,线段A、B中点为证明：;20. 已知函数图象的一条切线为x轴；①求a值；②令g(x)=若存在满足证明:21.已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；①若xf(x)对恒成立,求a最大值；②设f(x)在(1,)的实根，若在区间(1,)上存在求证：22．已知函数, (a；①若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值②若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；③如果函数g(x)=f(x)-(a-恰有两个不同的极值点证明:;23．已知函数-(a-2)x-alnx (a；①②设函数若使得成立求实数a取值范围;③若方程f(x)=c有两个不等的实数根,求证：24. 已知函数①若使得对上f(x)恒成立求实数a的取值范围；②若g(x)=f(x)-ax-有两个不同零点求证：;25．已知函数①当时讨论y=f(x)在）上的单调性；②y=f(x)有两个不同零点且求证：。