(r,,)u(rr)Ylm(,) 13
其中u (r )满足方程 u(r) 2 m 2(E V (r) )l(lr 21 ) u(r)0
相当于(0,)范围内的一维运动,其行为可用径向量子数n r 描述
从波函数 的形式看，角度方向零点由 Ylm(,) 提供，径向
零点由u (r )提供。根据节点定理，对于确定的 l，径向基态无 节点(nr 0)，第 k个径向激发态 (nr k)有 k个节点。
2(x)V(x)(x)E(x)
2m
V (x)E 2 m 2 ((x x ))E 2 m 2(4x2 3 2)
322
E
V(x)42x2
2m
2m
8
2、利用连接条件定能级 定态问题中常见的一类问题是确定粒子的能量，一般方
法是求解S.eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本 征值。常见情况如下：
（1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零；
(l1 ( n x ) ) |x a (l2 ( n x ) ) |x a
由此得
kc ao k a t ka
又有
(k a)2(ka)2 2m22aV0
令 k,aka cot
2
2
2ma2V0 2
此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件）
2m 22V a022
8m22V 2 a01
11Βιβλιοθήκη 22(21* 1*2)d
2
2
(21*
1*2)
ds
0
因为束缚态边界条件是 r ,1 0 ,2 0
由于 E1 E2 ，则有
1*2d0
即1, 2正交
7
（2）质量为m的粒子处于能量为 E的本征态，波函数为
12x2
(x)Axe2
已知 V(0)0 ，求能量 E和势能函数V ( x)。
解：属于直接应用S.eq解题的例子。
（1）今有两个波函数 12AB (ex 2 2x 2/b 2 xc)e 2x2/2
它们都是能量本征态，试问它们对应的能级哪个高？ 是否相邻能级？
解：可以直接由S.eq出发求出两个态的能量差
E2E12m 2 211 212
2 mc
12
但却无法回答题目中的两个问题。利用节点法很方便！ 1 无节点，对应基态，能量最低； 2 有两个节点（本征态） x(b b24c)/2
重要性。
（1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。
证明：令1, 2 分别对应能量 E1, E2 ，E1 E2；结论与势能的 具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。
2 221V1E11
(1)
2 222V2E22
(2)
2(1)*1 *(2)并对空间积分
6
(E1 E2)
1*2d
2
2
(221* 1*22)d
1(x)Asink(x)
k 2m(EV0)/
利用边界条件1(0)0，得 0
在 xa区域，解为
E0
2(x)Bekx Bekx
k 2mE/
对于束缚态 x,0，由此得 B0
10
于是可得 1(x)Asiknx 0xa
2(x)Bekx
xa
在 xa处，势能存在有限跃变，则波函数及其导数均连续，
或波函数之对数的导数连续，
判定其描述第二激发态，能量高于 1 描述的基态；二者描 述的态不是相邻能级的态，它们之间还有一个能量本征 态，即第一激发态，具有一个节点。
问题：如果 2 不是能量本征态，情况又如何？ （2）在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为
零（s态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢 原子的能量。 解：三维有心力场系统波函数写成
（5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限
（6）连续方程
j
0
t
5
典型例题
1、根据S-eq解题
量子力学描述方式的最大特点是微观体系的运动状态用波 函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最 为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基 本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的
A 1 2 2 x e 2 A ( 2 x x ) e 1 2 2 x 2 A ( 1 2 x 2 ) e 1 2 2 x 2
A ( 2 2 x ) e 1 2 2 x 2 A ( 1 2 x 2 ) ( 2 x ) e 1 2 2 x 2 (4 x 2 3 2 )
（2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函 数为零；
（3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续；
（4）对于势，波函数本身连续，其导数有跃变。
V(x)(x)
(0)(0)2 m 2(0)
9
例题
粒子在势场V(x) V0
0
x0 0xa
xa
中运动（V0 0）。求至少存在一个束缚态的条件。 解：显然，在 x0处， 0 ；在 0xa区域，由S.eq知
it 22 2V(r,t)
当(势r)场满足V(定r)不态显薛含定时谔间方时程，其解是定态解 (r ,t)(r )e iE /t
H 22 2V(r)E
4
定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 所谓定态即能量的本征态 （4）波函数的归一化条件
2d 1
(r )~c(r )描述同一态
波函数常数因子和相位因子不定性
量子力学辅导
1
整体概况
+ 概况1
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概况2
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概况3
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一、状态和波函数 二、一维势场中的粒子 三、力学量和算符 四、对易关系与表象变换 五、三维定态问题 六、近似方法 七、自旋与角动量 八、全同粒子 九、带电粒子在电磁场中的运动 十、散射问题
3
（1）微观粒子的一状、态状由态波和函波数函数(r,t)完全描述。
已| 知|2概率(r密,t（)度坐标|表|2 d象 的粒表子示处）在，d可体得积其元的Q表概象率的表示。
（2）态的叠加原理
设 1,2,n是体系可能实现的态，则它们的线性叠加
cnn 也是体系可能实现的态。 n
（3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出
3、节点法
节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理： 对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点， 第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存在对 称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范围非 常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能级顺 序、判定能量本征值等。