P
M1
Q
y
O
因为 x | M1M2 | 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2 = | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 所以 d | M1M2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，
1、设 O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
z P C y B
则
OP OA OB OC x y z
2 0 2 0 2 0 2 2 2
A
x
o
二、空间两点间的距离
作一个以M 1和M 2为对 角线顶点的长方体，使 其三个相邻的面分别平 行于三个坐标面．
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． z
z1
P
M1 Q
y
O x
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以 M 1 和 M 2 为 对角线顶点的长方体，使 其三个相邻的面分别平行 于 三 个 坐 标 面 ．
z
M2
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|，
与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， 与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
坐标面： 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标
z
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
坐标面：
三条坐标轴中的任意两
z
条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．
解 因为
| M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214，
| M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26， 所以| M 2M 3| | M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角 形．
一、空间点的直角坐标
过 空 间 一 个 定 点 z轴(竖轴)
z
O，作三条互相垂直
的 数 轴 ， 它 们 都 以 (坐标)原点 O为原点且一般具有 相同的长度单位．它 们的正向通常符合右
1 1
y轴(纵轴)
1 O 拇指方向
y
x轴(横轴)
手规则．这样的三条
坐标轴就组成了一个 空间直角坐标系．
x
四指转向 右手规则
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
卦 限：
z
第一卦限
三个坐标面把 空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限．
O
y
x
z
第二卦限
卦 限：
O
y
x
z
卦 限： 第三卦限
O
y
x
z
卦 限：
第四卦限
O
y
x
z
卦 限：
O
y
x
第五卦限
卦 限：
z
O
y
第六卦限
x
卦 限：
z
第七卦限
O

y
x
z
卦 限：
O
第八卦限
y
x
点的坐标：
M2
M1
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|，x 1 O
x2
P
Q
y
x
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以M 1和M 2为对角 线顶点的长方体，使其三 个相邻的面分别平行于三 个坐标面．
z
M2 M1 Q
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， P 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， O
设 M 点 为空间一已知点．过 x
z
z R M Q y y
M 作三个平面分别垂直于
轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x
轴、y 轴和 z 轴的交点依次为
P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标依次为x、y、z，我们 称这组数为点M的坐标，并把 x、y、z分别称为点M的横坐标、 纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、 z 的点M 记为M(x，y，z)．
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例2 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)
等距离的点．
解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
|MA| 2|MB| 2，
(04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2． 解之得
14 z ， 9
x
y1
y
y2
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． 作一个以M 1和M 2为对角线 顶点的长方体，使其三个相邻 z2
M2
z
的面分别平行于三个坐标面．
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， 与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
O
x P
x
3.3空间两点间的距离公式
问题1：长方体的对角线是长方体中的那一条 线段？ 问题2：怎样测量长方体的对角线的长？
问题3：已知长方体的长、宽、高分别是a、
b、c，则对角线的长
d a b c
2 2
2
问题4：给出空间两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
可否类比得到一个距离公式？
14 所以，所求的点为M(0, 0, )． 9