事件的相互独立性
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题： 1．事件的相互独立性的定义是什么？ 2．相互独立事件有哪些性质？
3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？ 二、基础知识
1．相互独立的概念
设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质
若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立． （2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）． 三、合作探究
1．相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既
有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩．
【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1 4.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P（A）＝1
2，P（B）＝
3
4，P(AB)＝
1
2.
由此可知P(AB)≠P（A）P（B），
所以事件A，B不相互独立．
（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为1
8，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个
基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P（A）＝6
8＝
3
4，P（B）＝
4
8＝
1
2，P(AB)＝
3
8，
显然有P(AB)＝3
8＝P（A）P（B）成立．
从而事件A与B是相互独立的．
判断两个事件是否相互独立的两种方法
（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
（2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
2．相互独立事件同时发生的概率
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件． 则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9， 所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －
)＝0.1．
（1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝
P (A －)P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B －)P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C －) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398． （2）三列火车至少有一列正点到达的概率为 P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －
) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率． 解：恰有一列火车正点到达的概率为
P 3＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P （A ）P (B －)P (C －)＋P (A －)P （B ）P (C －)＋P (A －)P (B －
)P （C ）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．
2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)． 解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P （A ）P （B ）P （C ）
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P （A ），P （B ），那么： （1）A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B ． （2）A ，B 都发生为事件AB ． （3）A ，B 都不发生为事件A －B －.
（4）A ，B 恰有一个发生为事件A B －＋A －
B ．
（5）A ，B 中至多有一个发生为事件A B －＋A －B ＋A － B －
.
3．相互独立事件的综合应用
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标
准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过
两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，1
4，两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．
【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，1
4. 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P （A ）＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.
（2）P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝5
16， P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝3
16.
概率问题中的数学思想
（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P （A ）＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式
转化为相互独立事件)．
（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解． 四、课堂检测
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A ．49
B ．29
C ．23
D ．13
解析：选A ．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝2
3，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝4
9.
2．已知A ，B 是相互独立事件，且P （A ）＝12，P （B ）＝2
3，则P (A B －)＝________；P (A － B －
)＝________．
解析：因为P （A ）＝12，P （B ）＝2
3. 所以P (A －)＝12，P (B －)＝1
3.
所以P (A B －)＝P （A ）P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝1
6. 答案：16 16
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话．
解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3． （1）第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－
A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝1
10.
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－A 2－
A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－
A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－
A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。