a b c , b c a , c a b
V
V
V
(10-1)
式中，V 是正点阵单胞的体积，
V a (bc) b(c b) c (a b) (10-2)
图10-2 倒、正空间
基本矢量的关系
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解
(一) 倒易点阵的概念
2.倒易点阵的性质
1) 基本矢量
2
第一节 概 述
一、常见的电子衍射花样 晶态、准晶态和非晶态物质的衍射花样见图10-1
a)
b)
c)
d)
图10-1 常见的电子衍射花样
a) 单晶体 b) 多晶体 c) 准晶体 d) 非晶体
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第一节 概 述
二、电子衍射的特点
与X射线衍射相比，电子衍射具有如下特点：
1) 电子波波长很小，故衍射角2 很小(约10-2rad)、反射球半 径(1/)很大，在倒易原点O*附近的反射球面接近平面
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解
(一) 倒易点阵的概念
2. 倒易点阵的性质
2) 倒易矢量 在倒易空间内，由倒易原点O*指向坐标为hkl
的阵点矢量称倒易矢量，记为ghkl
ghkl ha kb lc
(10-4)
倒易矢量ghkl与正点阵中的(hkl)晶面之间的几何关系为
ghkl (hkl),
爱瓦尔德球内三个矢量k、k 和 ghkl清晰地描述了入射束方向、 衍射束方向和衍射晶面倒易矢量之间的相对几何关系。 倒易
矢量 ghkl代表了正空间中(hkl)晶面的特性， 因此又称 ghkl为衍 射晶面矢量
如果能记录倒易空间中各 ghkl矢量的排列方式，就能推算出正 空间各衍射晶面的相对方位， 这是电子衍射分析要解决的主
达形式， 可直观地判断 (hkl) 晶面是否
满足布拉格条件
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解
(二) 爱瓦尔德球图解
由图10-4容易证明，式(10-7)和布拉格定律是完全等价的 说明， 只要(hkl)晶面的倒易阵点G 落在反射球面上，该晶面 必满足布拉格方程，衍射束的方向为k(OG)
(10-6)
对于立方晶系同指数晶向和 晶面互相垂直，即晶向[hkl] 是晶面(hkl) 的法线 ，
[hkl] // ghkl
图10-3 正、倒点阵的几何对应关系
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解
(二) 爱瓦尔德球图解
在倒易空间，以O为球心，1/ 为半径作一个球，置倒易 原点O*于球面上，从O向O*作入射波矢量 k (k = 1/)，此球称
2) 透射电镜样品厚度t 很小，导致倒易阵点扩展量(1/t)很大， 使略偏离布拉格条件的晶面也能产生衍射
3) 当晶带轴[uvw]与入射束平行时，在与反射球面相切的零层 倒易面上， 倒易原点O*附近的阵点均能与反射球面相截， 从而产生衍射，所以单晶衍射花样是二维倒易平面的投影
4) 原子对电子的散射因子比对X射线的散射因子约大4个数量 级， 故电子衍射强度较高，适用于微区结构分析，且拍摄 衍射花样所需的时间很短
g hk l
1 d hk l
(10-5)
倒易矢量ghkl可用以表征正点阵中对应的(hkl)晶面的特性 (方 位和晶面间距)，见图10-3
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解
(一) 倒易点阵的概念
2. 倒易点阵的性质
4) 对于正交晶系，有
a // a, b // b, c // c, a 1 ,b 1 , c 1 abc
第二篇 材料电子显微分析
第八章 电子光学基础 第九章 透射电子显微镜 第十章 电子衍射 第十一章 晶体薄膜衍衬成像分析 第十二章 子背散射衍射分析技术 第十五章 电子探针显微分析 第十六章 其他显微结构分析方法
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第十章 电子衍射
本章主要内容 第一节 概 述 第二节 电子衍射原理 第三节 电子显微镜中的电子衍射 第四节 单晶体电子衍射花样的标定 第五节 复杂电子衍射花样
量ghkl ，故有
(uvw)*0
ghkl r = 0
000
g3 (h3k3l3)
g2 (h2k2l2)
即
g1 (h1k1l1)
hu + kv + lw = 0
图10-5 晶带与零层倒易面 式(10-8)即为晶带定理
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第二节 电子衍射原理
一、布拉格定律 由X射线衍射原理已经知道，布拉格定律是晶面产生衍射
的必要条件， 它仍适用于电子衍射， 布拉格方程的一般形式 为
2dsin =
加速电压为100~200kV，电子束的波长为10-3nm数量级，而常 见晶体的面间距为10-1nm数量级，则有
sin = / 2d 10-2
要问题之一
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第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面
1) 晶带定理 正点阵中同时平行于某一晶向 [uvw] 的所有晶面
(h3k3l3)
[uvw]
(h2k2l2)
构成一个晶带，这个晶向称为晶带 轴，如图10-5所示
(h1k1l1)
因为晶带轴 r 平行于(hkl) ，所以r
垂直于该晶带中个晶面的倒易矢
=10-2rad 1
表明电子衍射的衍射角很小，这是其衍射花样特征有别于X射 线衍射的主要原因之一
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的概念
图10-2 倒、正空间基本矢量的关系
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的概念 1. 倒易点阵基本矢量的定义 设正点阵的基本矢量为a、b、c，定义相应的倒易点阵基本矢 量为a*、b*、c*(图10-2)，则有
爱瓦尔德球(或称反射球)，见图10-4
若(hkl)晶面对应的倒易阵点G落在反射
球面上，(hkl) 满足布拉格条件，有
k k = ghkl
(10-7)
式中， ghkl为(hkl)的倒易矢量；k 为衍
射波矢量， 代表 (hkl) 晶面衍射束方向
图10-4 爱瓦尔德球图解
爱瓦尔德球图解是布拉格定律的几何表
a b a c b a b c c a c b 0
(10-2)
a a b b c c 1
(10-3)
倒易点阵基本矢量垂直于正点阵中与其异名的二基本矢量决 定的平面
正倒点阵异名基本矢量点乘积为0 ，由此可确定倒易点阵基 矢的方向
同名基本矢量点乘积为1， 由此可确定倒易点阵基矢的大小 8