式中
为 m的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换
简单地表示为
对方程 两边进行变换，整理后得 或改写为
上式称为微分方程的辅助方程。第一项表示强迫振 动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。 如果不考虑方程的齐次解，即令x(O)= (O)=0， 就可以将变换激励和变换响应之比写成如下反映系统
广泛地应用于线性系统的研究中，除了为求解线 性微分方程提供有效方法外，还可以用来表示联 系激励和响应的简单代数式。拉普拉斯变换既适 合于瞬态振动，又适合于强迫振动，这一方法的
主要优点在于它可以比较容易地来处理不连续函
数，并且可以自动地考虑初始条件。
用符号
=Lx(t) 表示 x(t) 的拉普拉斯变换，则
变换式 代人x(t)=H(ω)f(t)，可得系统的稳态响应为
在非周期激励作用下，系统的响应又可由傅里叶积
分表示为
式中
因此x(t)与X(ω)组成了傅里叶变换对。比较式得
上式为系统响应的频率域表达式，系统在频率域的响
应 X(ω) 等 于 复频 率 响应 H(ω) 与 激 励的 傅 里叶 变 换
F(ω)的乘积。
例 3.9-1 试用傅里叶变换法计算单自由度无阻 尼系统对图所示的矩形脉冲激励 F(t) 的响应 x(t) ， 并画出频谱图。
解：因为f(t)=F(t)／k，函数f(t)可以定义为
利用式，可以对f(t)进行傅里叶变换，积分得
当ζ=0，复频率响应为
得到
于是，响应x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式，即
x(t)的拉普拉斯变换定义为
式中 s 一般为一复量，函数 e-st 称为变换的核。因
为式是一个以t为积分变量的定积分，所以将得出
一个以s为变量的函数。 为了用拉普拉斯变换法求解系统
的响应，需要计算导数量和譬的变换。应用分部积 分，可以得出
式中 x(0) 为 m 的初始位移。同理，二阶导数的拉普 拉斯变换可以表示为
传递函数可以视为是一个代数算子，它对变换 激励进行运算就得出变换响应。 方程可以用图表示，以代数算子 (s)表在拉普拉斯平 面内的关系图。
响应 x(t) 可由拉普拉斯逆变换求得。从变换响 应回到x(t)时，需要计算 可以表示为 (s)的拉普拉斯逆变换，
一般来讲， L-1的运算将涉及在复数域内的线积分， 在很多情况下，这个积分可以用围道积分来代替， 再转变为用复数代数中的剩余定理来计算。然而 深入地研究拉普拉斯变换理论已经超出了本书的 范畴。如果能够寻找一种将 (s)分解成其逆变换 为已知函数组合的方法，则在现有的知识结构中 就可以得到简单响应问题的拉普拉斯逆变换的解 答，这一方法可以通过部分分式法来实现。也就 是说，把函数 (s)分解成几个已经知道其逆变换 的简单函数之和。表给出了一些简单函数的拉普 拉斯变换对表。
可以从另一角度出发，借助傅里叶变换给出频率 域响应的表达式，同时给出脉冲响应函数与复频 率响应函数的傅里叶变换关系。 单自由度线性系统受非周期激励的振动微分方程为 令作用在系统上的激励具有如下的形式，即
注意到f(t)的量纲与位移的量纲相同。
周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，
即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非
续频谱函数，
积分式 称为关于函数f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连 续频谱函数，积分式称为关于函数F(ω)的傅里叶逆
变换，它将非周期函数f(t)表示为频率为ω、幅值为
F(ω)dω的简谐分量的无穷叠加。 f(t) 和F(ω)共称 为傅里叶变换对。
利用复频率响应函数H(ω)，将f(t)以傅里叶
pω=ωp ， 有 △ ωp= （ p+1)ω-ω=ω=2π/T ， 将 傅
里叶展开式和上式)中的pω以ωp，T以2π/ △ωp
代替，写成
当T→∞，△ωp→0 时，离散频率ωp ，就成为连
续频率ω，将TCp，记作ω的函数F(ω)，称为激
励的频谱函数。上面两式转化为傅里叶变换公式
积分式 称为关于函数 f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连
上次内容回顾：
系统对任意激励的响应· 卷积积分
讲述的内容
第三章 强迫振动
3．9 系统对任意激励的响应· 傅里叶积分 3．10 用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数 3．11 复频率响应与脉响应之间的关系
3．9系统对任意激励的响应· 傅里叶积分
前面应用卷积积分计算任意非周期激励的响
应随时间的变化规律，称为时域分析方法。但也
特性的所有参数，是以 s 为变量的复数域的代数 表达式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。
令
(s)的倒数以
(s)表示，即
(s)称为系统的导纳。
在研究变换响应与变换激励的关系时，还要
建立一个更为普遍的概念，这一概念称为传递函
数。对于方程所描述的二阶系统的特殊情形，传 递函数具有下面的形式，即
式中ζ和ωn分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的 固有频率。注意到，如果令 (s)中的S=iω并乘以 k，就可以得到复频率响应函数H(ω)。 方程可以改写为
为了计算此积分，需要作复平面内的围道积分 ( 这
已经超出了本书的范围 ) ，这里只给出积分的结果，
有
注意到本例题响应x(t)的结果与例题3.8-4的结果相同。
与f(t)有关的频谱由方 程 给出，因为(eiωT-e-iωT)／i2=sinωT。方程简化为
图表示F(ω)对ω的频谱图。
此外，与x(t)有关的频谱由方程
周期激励函数 F(t)=kf(t) ，可视为周期 T 趋于无
穷大的周期函数，也就是说，非周期函数可视为
周期为无穷大的周期函数。这样，离散频率愈来 愈接近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就 成为傅里叶积分。 考虑傅里叶级数的复数形式，即
系数Cp为
式中T=2π/ω为激励函数的周期。傅里叶级数式和
上式提供了有关周期函数f(t)的频率组成依据。令
给出，同理，简化为
图表示X(ω)对ω的频谱图。
将此例题与例题3.8-4相比较，可以看出， 对于求响应 x(t) 的问题，用卷积积分要比用傅
里叶变换法简单，因为卷积积分能够避免本例
题中涉及的复平面内围道积分的计算。
3．10
用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数
拉普拉斯 (Laplace) 变换作为一种工具已经