2019年高考数学理科全国1卷19题说题
已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴
的交点为P 。
（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =u u u r u u u r
，求||AB
【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。
对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。
【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。
解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转
化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =uuu r uu u r 。
本题的第一问来自于教材，
稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：
题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且
斜率为2
3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = （ ）
A 。
5
B 。
6
C 。
7
D 。
8
题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为
(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。
（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。
【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t =
+1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252
x x +=；
联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t 的方程，解方程求得结果； （2）设直线l ：2
,3
x y m =
+联立直线方程与抛物线方程，利用3AP PB =u u u r u u u r 可得123,y y =-结合韦达定理求出123,1y y ==-；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】
解法1：（1）设直线l 与x 轴交于(,0)P m ，方程为2
,3
x y m =
+ 由2233x y m y x ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
得2230y y m --=，设112
(,),(,A x y B x y 121223y y y y m +==-，， =4120m ∆+> 12323
||||=4
232AF BF x x y y m +=++=12（+)+2+ 得7=
12m ， 因此直线l 的方程为2737
,31228x y y x =+=-即
（2）由3AP PB =u u u r u u u r
，得123,y y =- 又122y y +=，
从而2232,y y -+=故123,1y y ==-，
代入C 的方程得1213,3x x ==，故得A(3,3),1
(,1)3
B -,
故||AB =
解法2：设直线l 的方程为3
,2
y x t =
+1122(,),(,),A x y B x y 由题设得3(,0)4F ，故123||||2AF BF x x +=++，由题设得125
2x x +=
由2323y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
，得22912(1)40x t x t +-+=， 则22=144(-1)494144(12)0t t t ∆-⨯⨯=->，124
(1)3x x t +=--
从而45(1)32t --=，得78
t =-
因此直线l 的方程即37
28
y x =
- （2）由（1）22912(1)40x t x t +-+=，得124
(1)3x x t +=--
1122222
,0),(,),(,)
333P t AP t x y PB t x y -=---=+u u u r u u u r 又（
由3AP PB =u u u r u u u r ,得212
23=3
t x t x y y +--12
，=-3
可得2122
=1+)=233x t x t
--（，
故128|||=
33AB x x =-=.
解法3：设直线l 的方程为3,2y x t =
+1122(,),(,),A x y B x y 由题设得3
(,0)4
F ，故
||||AF BF +=
1212333
()()4442
x x x x ==+++=++=
从而得125
2x x +=
， 以下略。
解法4：设直线l 的方程为3
(),2
y x m =-1122(,),(,),A x y B x y 以下略。
解法5（点差法）：（1）设直线l 的方程为3
,2
y x t =
+1122(,),(,),A x y B x y
由题设得3(,0)4F ，故123||||2AF BF x x +=++， 由题设得125
2
x x +=
221212*********
33,()
()2
y y y y x x y y y y x x --=-+=+-由得3= 125
2,(,1)4y y AB M ∴+=弦的中点为,而且M 在抛物线内部，
因此直线l 的方程为3537
1(),2428
y x y x -=-=-即，以下略。
解法6：(1) 由题设得3(,0)4F ,设A(3a 2，3a)，B(3b 2
，3b)，
由l 的斜率为32，得22a b ≠, 223332
3323
a b a b a b -=⇒+=
-, 由抛物线的定义，得2222335
||||(3)(3)4446
AF BF a b a b +=+++=⇒+=
2233335
(,)(,1)224a b a b AB M ++∴=弦的中点为，而且M 在抛物线内部，
因此直线l 的方程为3537
1(),2428
y x y x -=-=-即
（2）由3AP PB =u u u r u u u r
,可得033(30),a b -=-故-3a b =
又由 (1)的23a b +=，从而得1
1,3
a b ==-
故A(3,3),1
(,1)3
B -,
故||AB =。
解法7：(1) 直线l 与x 轴的交点为P （m,0），设A(3a 2，3a)，B(3b 2，3b)，
由题设得3(,0)4F , l 的斜率为3
2
，
得22a b ≠,
22
3332
3323
a b a b a b -=⇒+=-, 由抛物线的定义，得2222335
||||(3)(3)4446
AF BF a b a b +=+++=⇒+=
又2
2(3,3),(3,3)AP m a a BP m b b =-=-u u u r u u u r ，
由,AP BP u u u r u u u r
共线，得223(3)3(3)b m a a m b -=-
故2222233()()7
33212
ab a b a b a b m ab a b -+-+=
=-=-=- 因此直线l 的方程为37()212y x =-，即37
28
y x =-。
（2）设(,0)P m ，由l 的斜率为32 ，可设l
的参数方程为x m y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
代入23y x =
，整理得29390t m --=
设点A,B 对应的参数分别为12,t t
则12t t +
由3AP PB =u u u r u u u r
，得12=3t t -
得12=t t -
，
故12||||==3AB t t =- 。
上述解法采用标准形式的参数方程，运算量稍大，如用一般形式求解，更加简捷:
设(,0)P m ，由l 的斜率为3
2，设l 的参数方程为23x m t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)
代入23y x =，整理得29630t t m --=
设点A,B 对应的参数分别为12,t t 则122
=3t t +
由3AP PB =u u u r u u u r ，得12=3t t - 得121=1=3t t - ，
故12||AB t t =-。