可见
对矩阵
A I
施以相应于右乘 P1
P2
Ps 的初等列变
换 再对 A 施以相应于左乘 P1T P2T PsT 的初等行变换 矩阵
A变为对角矩阵 单位矩阵I就变为所要求的非奇异矩阵C
1 1 1 例 2 求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 其中A1 2 2
1 2 1
解解
AIAI11111111
为对角形(称这个对角矩阵为A的标准形) 即任何一个对称矩 阵都与一个对角矩阵合同
例 1 求一非奇异矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 0 1 1
A 1 0 2
1 2 0
(二)用初等变换法化二次型为标准形
当C是非奇异矩阵 且CTAC为对角矩阵时 则有
CI P1P2 Ps (其中Pi(i1 2 s)是初等矩阵) CTACPsT P2TP1TA P1P2 Ps
1 0
11
1 1 1 例 2 求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 其中A1 2 2
1 2 1
解
AI 1111
1 2 2 0
1102
1 1 1 1
011100110011
0 1 1 1
00010011 0111001100110011
0001
00
1 0
10
00
1 0
0100
1 0
1 1 1
例 2 求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 其中A1 2 2 1 2 1
例3 求一非退化线性变换 化二次型2x1x22x1x34x2x3为 标准形
例 4 用正交变换把下面的二次型化为标准形 并写出所 作的正交变换
f (x1, x2, x3) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32
11
00
0100 0101 11
因此
1 1 0
1 0 0
C 00
1 0
11
CTAC 00
1 0
01
例3 求一非退化线性变换 化二次型2x1x22x1x34x2x3为 标准形
0 1 1 解 此二次型的矩阵为A 1 0 2
1 2 0
因为
AI 0111
1 0 2 0
0021 0021
0 1/ 2
11 22 22 00
1102110211111111
00 11 11 11
00110011
0000
11 00
1010
0000
11 00
0101
00110011
00 11 11 11
00110011
0000
11 00
0101
0011
0 1 1 1
0001
00
1 0
11
0011
0 1 0 1
0001
00
将二次型化为平方项的代数和的形式后 如果有必要 可 重新安排变量的次序(这也是一个非退化线性变换)使这个标 准形化为以下形状
d1x12
d
p
x2p
d
x2
p1 p1
其中di0 (i1 2 r)
通过非退化线性替换
dr xr2
xi
1 di
yi (i 1,
2,
, r)
x j y j ( j r 1, r 2, , n)
§52 二次型与对称矩阵的标准形
(一)用配方法化二次型为标准形 (二)用初等变换法化二次型为标准形 (三)用正交变换法化二次型为标准形 (四)二次型与对称矩阵的规范形
(一)用配方法化二次型为标准形
定理51 任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形
定理52 对任意一个对称矩阵A 存在一个非奇异矩阵C 使CTAC
2 2 2 解 二次型的矩阵为 A 2 5 4
2 4 5
求得A的特征值为121 310
求出使A相似于对角矩阵 因此 作正交变换xQy 就可
的正交矩阵
以使二次型化为标准形
2 5
5
2 15
5
1 3
Q
54 5 15
5
2 3
0
1 3
5

2 3
f y12 y22 10y32
(四)二次型与对称矩阵的规范形
说明 二次型的正惯性指标也称为二次型矩阵的正惯性指标 二次型的负惯性指标也称为二次型矩阵的负惯性指标
定理54
凡二次型都可通过非退化线性变换化为规范形 且规范
形是由二次型本身决定的唯一形式 与所作的非退化线性变
换无关
正惯性指标和负惯性指标
把规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标 负项
个数qrp称为二次型的负惯性指标 其中r是二次型的秩
定理53 对于二次型f(x)xTAx 一定存在正交矩阵Q 使得经过正
交变换xQy后能够把它化为标准形
f 1y12 2 y22 n yn2 其中1 2 n是二次型f(x)的矩阵A的全部特征值
例 4 用正交变换把下面的二次型化为标准形 并写出所
作的正交变换
f (x1, x2, x3) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32
0 1/ 2
2400
00
1 0
01
01
1/ 2 0
11
1 所以C 0
0
1/ 2 1/ 2 0
2 1 |C|10
1
令
x1 z1 (1/ 2)z2 2z3 x2 z1 (1/ 2)z2 z3
x3
z3
代入原二次型可得标准形
f 2z12 (1/ 2)z22 4z32
(三)用正交变换法化二次型为标准形
二次型又化为
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2
这种形式的二次型称为原二次型的规范形
定理54 凡二次型都可通过非退化线性变换化为规范形 且规范
形是由二次型本身决定的唯一形式 与所作的非退化线性变 换无关 正惯性指标和负惯性指标
把规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标 负项 个数qrp称为二次型的负惯性指标 其中r是二次型的秩
定理55
合同的对称矩阵具有相
A为任意对称矩阵 如果 同的正惯性指标和秩
Ip 0 0
It 0 0
CT AC 0
0
Irp 0
0
0
及 QT AQ 0 0
I r t 0
0 0
CQ |C|0 |Q|0 则pt
作业 5.2：
例 1 求一非奇异矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵
0 1 1
A 1 0 2 1 2 0