《概率论与数理统计》期末试题（1）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为.2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P .3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ，}1),{min(≤Y X P 5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （ ）（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ）（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 ()（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为 ()（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==. （C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是()（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量.（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B至少发生一个的概率为()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-=. （2） 设X 服从泊松分布，若26EX =，则P(X>1) （3） 设随机变量X 的概率密度函数为1(1),02,()4,x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他. 今对X 进行8次独立观测，以Y 表示观测值大于1的观测次数，则53158888DY =⨯⨯= （4）元件的寿命服从参数为1100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为 （5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得1618ii X ==∑，162134ii X==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区0.050.025((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t ==二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ）中，每小题3分，共15分）（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ） （A ）()A B B A B -=. （B ）()A B A B -=.（C ）()A B AB AB AB -=.（D ）()()()A B C A C B C =--. （2）设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值（ ）中应取（A ）32,55a b ==-. （B ）22,33a b ==. （C ）13,22a b =-=. （D ）13,22a b ==.（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（ ）（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -. （C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --.（4）设随机变量12,X X 的概率分布为101111424iX P- 1,2i =. 且满足12(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为12X X ρ= （ ）（A ）0. （B ）14. （C ）12. （D ）1-.（5）设随机变量1~[0,6],~(12,)4XU Y B 且,X Y 相互独立，根据切比雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+（ ） （A ）0.25≤. （B ）512≤. （C ）0.75≥. （D ）512≥. 三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）EY 和DY .((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ=五、（10分）设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1y x=所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y（2）求(2)P X Y +≥.六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Z X Y =+七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度22(),0,0,()0,0.x x f x x αα-⎧>>=≤⎩12,,,n x x x 为X 的简单随机样本（1） 求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。

八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为a （米）。

假设每台机床发生故障的概率均为1n，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求EZ .《概率论与数理统计》期末试题（3）一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+ （2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为21(|)2P B A =. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2215()144EY DY EY =+=+=. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=.（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =8.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）二、单项选择题（每小题3分，共15分） （1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （ C ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取 （ B ） （A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == （3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6XP010.40.6Y P 则有 （ C ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于 （ C ） （A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为 （ D ）（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+（C ）(x u x uαα-+（D ）/2/2(x u x u αα-+ 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。