文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. °° 圆的有关性质【知识要点】 1．圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆： 2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆： 3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 6．圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】 一、选择题1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰 2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014•珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径， 弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（ ） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130°5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A 、AD ＝BD ；B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ． 6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（ ） A 。

平分弧AB B 。

到点D 和直径AB 的距离相等 C ．三等分弧AB D.到点B 和点C 的距离相等 7．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ ）度 A 10 B 15 C 25 D 30 8．下列语句中正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 9．（2015湖北荆州）如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠ACB =25°，则∠BAO 的度数是（ ）A ． 55°B ．60°C ． 65°D ． 70° 10．（2015•甘肃兰州,）如图，经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB =A . 80°B . 90°C . 100°D . 无法确定#11．（2015•威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（ ） A ．68° B ．88° C ．90° D ．112° #12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ ）． A ．(45) B ．9 C 5．2二．填空13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_________.14．(2015•江苏南昌,)如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ,∠A =50°,∠B =30°则∠ADC 的度数为 .15．(2015•江苏南京)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD =35°，则∠B +∠E = _ ． 16．（2015•江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接A C ．若∠CAB =22.5°，CD =8cm ，则⊙O 的半径为 cm17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A （0，1），B （0，－1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于18．（2015•江苏泰州,）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，则∠BOD 等于__________°. 19. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______°.A D CPBO20．(2015·贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。

如图10，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝ 米． 21．（2015•浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 m 22．（2014•菏泽）如图，在△ABC 中∠A =25°，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ， 则的度数为23．如图⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=，25BDC ∠=，那么P ∠= 三 解答题 24．AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB=10 cm ，OP=5 cm ，PA=4 cm ，求⊙O 的半径. 25.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E ．K 为弧AC 上一动点，AK ，DC 的延长线相交于点F ，连接CK ，KD 求证：∠AKD=∠CK F ；26． 在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是2、3， 求∠BAC 的度数的多少27．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB ）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施? 28．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，AC ＝CF ，CD ⊥AB 于D ，且交⊙O 于G ，AF 交CD 于E ． （1）求∠ACB 的度数；（2）求证：AE ＝CE ；29．（2015•浙江滨州）如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D . （1）求弧BC 的长； （2）求弦BD 的长.四、附加题30．. (2014年天津市)已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB=6，求AC ，BD ，CD 的长； （2）如图②，若∠CAB=60°，求BD 的长． 30. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E. (1)求证：△DOE 是等边三角形. (2)若∠A=60°，AB ≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 解：（1）∵△BAC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°． ∵OD=OB=OE=OC ， ∴△OBD 和△OEC 都是等边三角形． ∴∠BOD=∠COE=60°．∴∠DOE=60°．∴△ODE 是等边三角形．（2）结论（1）仍成立．证明：连接CD ， ∵BC 是直径， ∴∠BDC=90°． ∴∠ADC=90°． ∵∠A=60°， ∴∠ACD=30°．∴∠DOE=2∠ACD=60°．∵OD=OE ， ∴△ODE 是等边三角形． 32.如图,AB 是圆O 的直径,C 是弧BD 的中点,垂直AB,垂足为E ，BD 交CE 于点F,(1)求证：CF=BF (2) 若AD=2，圆O 的半径为3，求BC 的长 证明：(1)连接AC ，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC ∵C 是弧BD 的中点 ∴弧BC=弧CD ∴∠BAC=∠CBF ∴∠CBF=∠BCF ∴BF=CF(2) 连接OC ，交BD 于点M ∵C 是弧BD 的中点 ∴OC ⊥BD则OM=1/2AD =1 ∴CM =2根据勾股定理BD=4√2 ∴BM=2√2 ∵CM=2 ∴BC=2√333．已知：等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ． （1）若AP 过圆心O ，如左图，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如右图，PDC △又是什么三角形？为什么？解：（1）∵△ABC 为等腰三角形，° ° ∴AC=BC ，∠BAC=60°， ∵AP 过圆心O ，∴AP 平分∠CAB ，AP 为直径， ∴∠CAP=30°，∠ACP=90°， ∴CP=AP=×10=5（cm ）， 在△CAP 和△CBD 中 ∵，∴△CAP ≌△CBD ， ∴CP=CD ，∵∠CPD=∠CAB=60°， ∴△PCD 为等边三角形， ∴CD=PC=5cm ；(2)先证△APC ≌△BDC(过程同上) ∴PC=DC ∵∠BAP+∠PAC=60° ∵∠BAP=∠BCP ∠PAC=∠PBC ∴∠CPD=∠BCP+∠PBC =∠BAP+∠PAC=60° ∵PC=DC∴△PDC 为等边三角形．圆的有关性质【知识要点】 1．圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。