多元线性回归模型

回归模型的矩阵表达式： Y=X+U
y1 1 x 11 y2 y 1 x 1 T T xk1 u 1 0 k u xkT T
回归模型

满足经典假设条件时，OLS估计量满足


无偏性 有效性 服从正态分布
1 2 ˆ ~ N ( , ( X 'X ) u)
金融时间序列数据
时间序列数据：某个变量按时间顺序等间隔 排列的数字。 用yt表示变量Y在t时刻的观测值。经常使用的金 融变量包括 :股票指数，债券收益率，期权， 期货远期等资产的价格。t时刻与t+1时刻之间 的时间长度一般是一年，一个季度，一个月等 等，因此称数据有不同的频率，把不同频率的 数据称为年度数据，季度数据，月度数据，周 数据，日数据等。时间序列数据要求时间间隔 是相等的。 观测值的总数也称为样本容量，用T表示。
当使用时间序列数据时的习惯表达式：


y x ... x u , i 1 , 2 ,... T t 0 1 1 t k kt t

回归模型

y和x的不同名称: y
dependent因变量
x
independent 自变量
regressand（回归因变量） regressors（回归自变量）
t
yt 1 0.8 2 1.3 3 -0.9 4 0.2 5 -1.7 6 2.3 7 0.1 8 0.0
yt-1 0.8 1.3 -0.9 0.2 -1.7 2.3 0.1
yt 1.3-0.8=0.5 -0.9-1.3=-2.2 0.2--0.9=1.1 -1.7-0.2=-1.9 2.3--1.7=4.0 0.1-2.3=-2.2 0.0-0.1=-0.1
基本概念

随机过程的参数



均值函数mean function：每个时刻的随机变量求均 值得到的均值序列{t} 自协方差函数autocovariance function：任意两个 时刻变量间的自协方差构成自协方差函数{st} 自相关函数 autocorrelation function：任意两个时 刻变量间的自相关系数构成自相关函数{st}
effect variable（效果变量）causal variables（原因变量）


0， 1 ，…，k被称为系数（coefficients) ut随机扰动项(或称误差项）(random disturbance term)
回归模型

总体回归函数
x ... x , t 1 , 2 ,... T
金融时间序列模型
第二章：时间序列数据的回归模型
金融时间序列模型
回归模型回顾
回归模型
回归简单的说描述一个变量如何随其它变量的 变化而变化。 y 表示需要解释的变量 x1, x2, ... , xk 表示k个解释变量 线性回归模型表达式：

y c x ... x u , i 1 , 2 ,... N i 1 1 i k ki i
回归模型

普通最小二乘法估计结果：
1 ˆ ( X 'X ) X 'Y



估计式（estimator或估计量）:计算系数 的公式 估计值(estimate)：把样本观测值带入估 计式中计算得到的系数的数值。 隐含着解释变量不存在完全多重共线性
拟和优度和调整后拟和优度
2 ˆ ( y y ) ESS t R2 TSS ( yt y)2
回归模型

样本回归函数
ˆ ˆ ˆ ˆ Y x ... x , t 1 , 2 ,... T t 0 1 1 t k kt




ˆ ˆ ˆx 拟和值fitted value： y ˆ x ... t 0 1 1 t kt kt 残差residual： ˆ ˆt u y t y t
下面表达式哪些正确？
(1 ) y t x t u t ( 2 ) y t ˆ ˆ x t u t ( 3 ) y ˆ ˆ x uˆ
t t t
( 4 ) yˆ t ˆ ˆ x t uˆ t ( 5 ) yˆ t x t ( 6 ) yˆ t x t uˆ t
0 1 1 t kkt


0， 1 ，…，k被称为总体参数或真实值 总体回归函数是因变量的条件期望
E ( y | x , x ,... x ) x ... x t 1 t 2 t k t 0 1 1 t k kt

回归模型
具体的说：线性回归模型中“回归模型”的含义 是该模型的目的是计算因变量相对于自变量的 条件期望，“线性”的含义是假设因变量的条 件期望是解释变量的线性函数。
2 2 ˆ u ( y y ) RSS t 1 t t 1 1 TSS TSS TSS T 1 2 R 1[ (1 R2 )] T k
拟和优度




拟和优度是因变量拟和值和真实值的相 关系数的平方。 拟和优度是模型的变差能被模型解释的 部分。 拟和优度高并不能说明模型好，一个低 的拟和优度并不说明模型不好。 时间序列数据的拟和优度一般都比较高。
基本概念
平稳随机过程 （weakly stationary, covariance stationary ,second order stationary） 如果随机过程二阶矩有界，并且满足以下条件 （1）对任意整数t，E(Yt)= ，为常数； （2）对任意整数t和s，自协方差函数ts仅与t -s 有关，同个别时刻t和s无关。即ts=t-s=k
基本概念来自Yt－1称为一阶滞后变量，这个变量t时刻 的取值等于变量Yt在t-1时刻的值。 Yt－j称为j阶滞后变量，这个变量t时刻的 取值等于变量Yt在t-j时刻的值。 Yt –Yt－1称为一阶差分，用 Yt表示
滞后变量与一阶差分
date 1999：09 1999：10 1999：11 1999：12 2000：01 2000：02 2000：03 2000：04