专题一 第5讲 导数及其应用一、选择题(每小题4分，共24分)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.故选B. 答案 B2．(2012·泉州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D.12解析 设切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝12x －3x ，∴12x 0－3x 0＝12， 解得x 0＝3(x 0＝－2舍去)． 答案 A3．(2012·聊城模拟)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y解析 两函数图象的交点坐标是(0,1)，(1,1)， 故积分上限是1，下限是0，由于在[ 0,1]上，x ≥x 2，故求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面S ＝⎠⎛01(x－x 2)d x .答案 B4．函数f (x )＝32231,0,e , 0ax x x x x ⎧++≤⎪⎨>⎪⎩在[－2,2]上的最大值为2，则a 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0]D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 解析 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，函数的极大值点是x ＝－1，极小值点是x ＝0，当x ＝－1时，f (x )＝2，故只要在(0,2]上e ax ≤2即可，即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0,2]上恒成立，故a≤12ln 2.答案 D5．设函数f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是解析 设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1、x 2，则x 1x 2＝aa＝1，D 中图象一定不满足该条件．答案 D6．设a ∈R ，若函数f (x )＝e ax ＋3x (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围是A ．(－3,2)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,4)解析 由已知得f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数f (x )在x ∈R 上有大于零的极值点，则f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当3＋a e ax ＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1aln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，由x ＞0得到参数a 的取值范围为a ＜－3. 答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·济南三模)曲线y ＝e x ＋x 2在点(0,1)处的切线方程为________． 解析 y ′＝e x ＋2x ，∴所求切线的斜率为e 0＋2×0＝1， ∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝08．(2012·枣庄市高三一模)⎠⎛014－x 2d x ＝________.解析 ⎠⎛014－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4中阴影部分的面积的大小，易知∠AOB ＝π6，OC ＝1， ∴⎠⎛014－x 2d x ＝S △OBC ＋S 扇形AOB ＝12×1×3＋12×π6×22＝32＋π3. 答案32＋π39．(2012·泉州模拟)若函数f (x )＝x －a x ＋ln x (a 为常数)在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝x －a x ＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )＝1－12a x x+≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤2x ＋2x. 而2x ＋2x≥222x x ⨯＝4，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时等号成立，∴a ≤4. 答案 (－∞，4]三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·泉州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 则⎩⎨⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎨⎧a ＝4b ＝－11或⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎨⎧a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，所以函数有极值点； 当⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．则b 的值为－11.(2)解法一 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)单调递增或为常数函数，所以得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ，又－3x 2＋8x ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋163≤163，当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，所以b 的最小值为163. 解法二 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max ，令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋a 23.①当a ≥0时，F (x )max ＝0，∴b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，∴b ≥a 23. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23max ＝163，∴b ≥163.综上，b 的最小值为163. 11．已知函数f (x )＝e x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间； (2)设x ＞0，求证：f (x ＋1)＞e 2x －1；(3)设n ∈N ＋，求证：ln(1×2＋1)＋ln(2×3＋1)＋…＋ln[n (n ＋1)＋1]＞2n －3.解析 (1)由题知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由f ′(x )＝e x ln x (ln x ＋1)． 令f ′(x )＞0，解得x ＞1e ；令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e.故f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1e . (2)证明 要证f (x ＋1)＞e 2x －1，即证(x ＋1)ln(x ＋1)＞2x －1⇔ln(x ＋1)＞2x －1x ＋1⇔ln(x ＋1)－2x －1x ＋1＞0.令g (x )＝ln(x ＋1)－2x －1x ＋1， 则g ′(x )＝1x ＋1－3x ＋12＝x －2x ＋12，令g ′(x )＝0，得x ＝2， 且g (x )在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (2)＝ln 3－1，故当x ＞0时，有g (x )≥g (2)＝ln 3－1＞0， 即f (x ＋1)＞e 2x －1得证． (3)证明 由(2)得ln(x ＋1)＞2x －1x ＋1， 即ln(x ＋1)＞2－3x ＋1，所以ln[k (k ＋1)＋1]＞2－3kk ＋1＋1＞2－3kk ＋1，所以ln(1×2＋1)＋ln(2×3＋1)＋…＋ln[n (n ＋1)＋1] ＞⎝⎛⎭⎪⎫2－31×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32×3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3n n ＋1＝2n －3＋3n ＋1＞2n －3. 12．设函数f (x )＝－a x 2＋1＋x ＋a ，x ∈(0,1]，a ∈R * (1)若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围； (2)求f (x )在(0,1]上的最大值．解析 (1)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝－a ·xx 2＋1＋1.要使f (x )在x ∈(0,1]上是增函数， 需使f ′(x )＝－axx 2＋1＋1≥0在(0,1]上恒成立． 即a ≤x 2＋1x ＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．而1＋1x2在(0,1]上的最小值为2，又a ∈R *，∴0＜a ≤2为所求．(2)由(1)知：①当0＜a ≤2时，f (x )在(0,1]上是增函数． ∴[f (x )]max ＝f (1)＝(1－2)a ＋1； ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝ 1a 2－1∈(0,1]． ∵0＜x ＜1a 2－1时，f ′(x )＞0； ∵1a 2－1＜x ≤1时，f ′(x )＜0. ∴[f (x )]max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1＝a －a 2－1. 综上，当0＜a ≤2时，[f (x )]max ＝(1－2)a ＋1； 当a ＞2时，[f (x )]max ＝a －a 2－1.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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