第4讲 进位制与位值原理（二）
同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)(
)=
【答案】见解析
【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=
位值原理法：210(101110)(46)=
2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11
【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011
100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.
3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7
【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或
3．因为出现了6，所以n 只能是7．
4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7
【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.
5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．
【答案】26
【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=
5
4321●○○○
●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁
【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10
(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题
意，所以小招的年龄不可能是一位数．
②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．
因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．
即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．
7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010
【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.
8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.
【答案】7
【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .
9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495
【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.
10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.
【答案】8,10==k m
【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .
深化练习
11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115
【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为23451
52524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.
12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：
现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271
【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.
13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23
【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意
19201719+++=-a b ab
102017190010++=---a b a b
化简得：112107+=a b .
所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.
(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b
12==，a b .
这个人的年龄为201720125-=（岁）.
14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238
【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.
12+1+21541
1234
15.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.
【答案】208
【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.
若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；
若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；
若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；
若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；
若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.
综上可得，另一个数必是208.。