数学与计算科学学院
0 1 0 0 1 0
0 0 , 1 0 0 . 1
§4.6 初等矩阵
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵
P1 , P2 , , P s , Q 1 , Q 2 , , Q t ,
使
B P1 P2 P s A Q 1 Q 2 Q t .
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 10 r2 2） （ 3 1 A 0 1 0 r3 1） （ 2 0 0 11
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
1 3 3 3 2 1
3 2 2 5 5 3 . 2 2 1 1 1
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
Y.
数学与计算科学学院
1 1 k 第 i 行 P ( i , j ( k )) 第 j 行 1 1
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i, j)
1
P ( i , j ),
P ( i ( k ))
1
P (i(
1 k
)),
P ( i , j ( k ))
1
P ( i , j ( k )).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
3 5 6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
r1 r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 r 2 5 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 r 2） 2 （ 0 3 6 5 （ r3 1） 1 1 1 1 0 1 3
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
2012-9-22
数学与计算科学学院
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1 . 对调两行或两列； 2 . 以数 k 0 乘某行或某列； 3 . 以数 k 乘某行（列）加到另一
第 i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
3 、以数 k 0 乘某行 ( 列 ) 加到另一行
( 列 ) 上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 [ 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第
i 行上 ( ri kr j )
j 列上 ( c j kc i )，
2012-9-22
等价矩阵的秩相等．
数学与计算科学学院
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5
1 0 0
任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0
2 3 ， 3

3 X 2 1
2 3 . 3
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
如果要求 Y CA A 列变换 C
也可改为对
T
1
, 则可对矩阵
A 作初等列变换， C
1 c 3
A P3 P1 E P2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 P1 0 0 1 P3 0 0
2012-9-22
0 0 1 0 1 0
0 1 , 0 0 0 , 1
1 P2 0 2 1 P4 0 0
行（列）上去．
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即
( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i, j) 1 1 0 1 1
三、利用初等变换求逆阵
原理:
1
当 A 0时，由
1 1
A P1 P2 Pl，有
Pl Pl 1 P1 E A
1 1 1 1
Pl Pl 1 P1 A E , 及 Pl Pl 1 P1
1 1 1 1 1
,
A E
1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 0
0 2 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 3 2 1
3 4 1
2 6 3
r2 2） 1 （ 0 r3 1） （ 0
Pl Pl 1 P1 A Pl Pl 1 P1 E

E
A
1

E 就变成 A
1
即对 n 2 n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
.
数学与计算科学学院
例１ 设
1 A 2 3 2 2 4 2 2 2
思考题
1 将矩阵 A 2 0 的乘积 . 0 0 1 0 1 表示成有限个初等方阵 0
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2 c 3 ,
1 r3 ,
第i 行
第 j 行
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2 、以数
k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
( ri k ), 得
P ( i , j ( k )) A A P ( i , j ( k ))
2012-9-22
：A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
数学与计算科学学院
§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ②
数学与计算科学学院
利用初等行变换求逆阵 矩阵 A
1
的方法，还可用于求
B .
A
1

(A B) (E
A
1
B)
即
(A B)
初等行变换
E
A B
1
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
例２ 求矩阵 X , 使 AX B ，其中
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 3
2 2 2 0 2 0 0 2 0
3 5 6 2 5 1 0 0 1
2 1 2 1 1 1 3 4 1
5 9 12 4 9 3 2 6 3
r3 r2
r1 2 r3
r 2 5 r3
B ห้องสมุดไป่ตู้AQ .
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵
E 0 PAQ r 0 0
Ps s , Q n n
,使
，其中 r R ( A ) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
P (i, j) A : A P ( i , j ): P ( i ( k )) A A P ( i ( k ))
对换 A 的 i , j 两行； 对换 A 的 i , j 两列．
：用非零数 k 乘 A 的第 i 列； ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
A ： 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ;
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
A能表成一些初等矩阵的积, 即
A Q 1Q 2 Q t .
数学与计算科学学院
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使
2 2 4 3 1 3
3 1 1 ,求 A . 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 r1 r2 0 r3 r2 1
解
1 A E 2 3 1 r2 2 r1 0 r3 3 r1 0