第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。

解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

（3）已知()32312122213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=，由配方法可得()()()23322223223231212132144222,,x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-++-+-=()()23223212x x x x x +---=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=3332232112xy x x y x x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f -=，且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=33322321121212321y x y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100212123211T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='00001000110021210232110313*********302121001AT T 。

（4）已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++=，先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=443322411y x y x y x y y x ，则()4232432441432182288,,,y y y y y y y y y x x x x f ++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=232132142481212181212128y y y y y y y y32232128121218y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3223212432124128121218y y y y y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+==4432332211z y z z y z z y z y ，则()2321243214321434528385218,,,⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z z z z z z z x x x x f232222z z -+，再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++===++=43214332232118385214345z z z z w z w z w x x z w ，则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 242322218222w w w w +-+-=，且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+=+--=4143233224321121434521w w x w w x w w x w w w w x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10021011001101434521T ， 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='800002000020002AT T 。

（5）已知()4321,,,x x x x f 434232413121x x x x x x x x x x x x +++++=， 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=4433222112y x y x y x y y x ，则()4321,,,x x x x f 4342413231222122222y y y y y y y y y y y y y ++++++=()2124243243214321y y y y y y y y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=，再作非退化线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+++==44433432121121y z y y z y y y y z y z ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-==4443343212112121zy zz y z z z z y z y ，则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 2423222143z z z z --+-=， 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-=--+=444334321243211212121z x z z x z z z z x z z z z x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1000211002111121111T ， 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='4300001000010001AT T 。

（6）已知()4321,,,x x x x f 4131212422212442x x x x x x x x x +++++=434232222x x x x x x +++， 由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]243243212122222x x x x x x x x ++++++=()43423224222432222222x x x x x x x x x x x +++++++-()()243243224321212123222x x x x x x x x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++=，于是可令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=44433432243211212322x y x x y x x x y x x x x y ， 则原二次型的标准形为232221212y y y f +-=， 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=44433432243211232y x y y x y y y x y y y y x ， 故替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10001100123101121T ， 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='00000210000200001AT T 。

（7）已知()4321,,,x x x x f 43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++=，由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]24433123131222222x x x x x x x x x x x ++-++++= ()()2324432331232122x x x x x x x x x x -+++-++= ()()2121233124323212x x x x x x x x x x +---++++=()()()231243232121x x x x x x x x +-+++++=，于是可令⎪⎪⎩⎪⎪⎨+=+=++=3144333212x x y x x y x x x y ，则原二次型的标准形为24222221y y y y f -++=， 且非退化线性替换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=-==431441342211y y y x y y x y y x y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1101100110100001T ，且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='1000010000100001AT T 。

（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

解 1）已求得二次型()321,,x x x f 323121224x x x x x x ++-= 的标准形为23222134y y y f ++-=，且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121y x y y y x y y y x ，（1） 在实数域上，若作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨==13223121z y z y ，可得二次型的规范形为232221z z z f -+=。

（2） 在复数域上，若作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===13221121z y z y iz y ，可得二次型的规范形为232221z z z f ++=。

2）已求得二次型()321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++=的标准形为2221y y f +=， 且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 2221y y f +=。