第2题答案：第2题解答图解：（1） ∵x 1<0,x 2>0, ∴OA=x 1,OB=x 2, ∵x 1,x 2是方程 - x 2-2（m+3）x+m 2-12=0的两个实数根， 由根与系数关系得：x 1+x 2=-2（m+3）①x 1·x 2=-2(m 2-12) ②x 2=-2x 1③联立，整理，得：m 2+8m+16=0，解得：m 1=m 2=-4，∴抛物线的解析式为y=- x 2+x+4. （2）设点E （x,0），则OE=-x ，∵△ECO 与△CAO 相似，∴∴ ∴x=-8 ∴点E （-8,0），设过E 、C 两点的直线解析式为y=k′x+b′由题意得：所以直线EC 的解析式为：y=21x+4 ∵抛物线的顶点D （1， ），当x=1时，y= ，∴点D 在直线EC 上.（3）存在t 值，使S 梯形MM′N′N ：S △QMN =35：12. ………………（1分） ∵E （-8,0），∴0=41 ×（-8）+b ，∴b=2，∴y=41x+2, ∴x=4(y-2),∴y=-21×[4(y-2)]2+4(y-2)+4,整理得：8y 2-35y+6=0,设M （x m ,y m ）、N(x n ,y n ),∴MM′=y m ，NN′=y n , ∴y m 、y n 是方程8y 2-35y+6=0的两个实数根，∴y m +y n = ，∴S 梯形MM′N′N =21 (y m +y n )(x n -x m ),∵点P 在直线y= 41x+2上，点Q 在（1）中抛物线上 ∴点P （t, 41t+2）、点Q （t, - 21 t 2+t+4）, ∴PQ=- 21 t 2+t+4- 41t-2=- 21 t 2+ 43t+2,分别过M 、N 作直线PQ 的垂线，垂足为G 、H ，则GM=t-x m ，NH=x n -t, ∴S △QMN = S △QMP +S △QNP =21PQ(x n -x m ),∵S 梯形MM′N′N :S △QMN =35:12∴ ∴ 整理，得：2t 2-3t-2=0，解得：t 1=- ,t 2=2,∴当t=-21或t=2时，S 梯形MM′N′N :S △QMN =35:12.第3题解答图4.（2001哈尔滨30题）如图，抛物线y ax bx c =++2与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y 轴交点C 的纵坐标为3，∆ABC 的外接圆的圆心为点M 。

（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M 、A 两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P ，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

B x4题图第4题答案：解：（1）由题意，可知点A （-1，0），点B （3，0），点C （0，3）.∴-+=++==⎧⎨⎪⎩⎪a b c a b c c 09303 解得a b c =-==⎧⎨⎪⎩⎪123∴抛物线的解析式为y x x =-++223（2）在Rt AOC ∆和Rt BOC ∆中， 由勾股定理，得2310==BC AC 连结CM 并延长交圆M 于点H ，则∆CHB 为Rt ∆.∠=∠∠=∠=︒H A CBH COA ，90∴∆∆COA CBH ~∴=AC CH OCBC52=∴CH 设圆M 的半径为R ，则R =5连结AM ，设过点M 的抛物线的对称轴与x 轴交于点G.则G （1，0） 在Rt AMG ∆中，MG AM AG =-=221∴点M （1，1）.设过M 、A 两点的一次函数解析式为y kx b =+ ∴+=-+=⎧⎨⎩k b k b 10 解得k b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1212∴=+y x 1212（3）存在点P ，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似.（分两种情况）<1>当EF//AC 时，∆∆BEF BAC ~， ∠=∠MEG CAO ，∴Rt MEG Rt CAO ∆∆~， ∴=MG CO EG AO ∴=EG 13，OE =-=11323∴ E ()230，. 设过M 、E 两点的直线解析式为y k x b 111=+，∴=+=+⎧⎨⎪⎩⎪10231111k b k b 解得k b 1132==-⎧⎨⎩ ∴直线解析式为y x 132=-抛物线解析式为y x x =-++223整理得x x 250+-=，解得x x 1212121212=-+=--，∴=-+=--y y 127321273212，∴点P 1121273212()-+-+，或点 P 2121273212()----，. <2>当EF 与AC 不平行时，易证∆∆BEF BCA ~.过点A 作AK CB ⊥于K ，由勾股定理，得AK CK ==222，. Rt MEG Rt ACK ∆∆~，21=∴EG ∴点E ()120， 设过M 、P 两点的直线解析式为y k x b 222=+ ∴+=+=⎧⎨⎪⎩⎪12012222k b k b ∴==-⎧⎨⎩k b 2221 ∴直线解析式为y x 221=-抛物线解析式为y x x =-++223，联立消去y 得，x 24=∴=x 32或x 42=-∴=y 33或y 45=-∴点P 3（2，3）或点P 425()--，.综上所述，存在点P 1121273212()-+-+，、P 2121273212()----，、 P 3（2，3）、P 425()--，，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似.第4题解答图5. （2002哈尔滨30题）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，且当x=0和x=2时，y 的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P 为线段BM 上一点，过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ．若点P 在线段BM 上运动（点P 不与点B 、M 重合），设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图 第5题答案：解：（1）设这条抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．∵ x ＝0和x ＝2时，y 的值相等， ∴ c ＝4a ＋2b ＋c ，由抛物线的对称性，可知x ＝1是这条抛物线的对称轴．又∵ y ＝3x －7与y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且其中一点的横坐标为4，另一点是抛物线的顶点M ．∴ 点M 的坐标为M （1，－4）．直线与抛物线的另一交点为（4，5）．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋＋，＝－＋＋，＝＋＋5416424c b a c b a c c b a解得⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，＝－，＝321c b a ∴ 这条抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）当y ＝0时，即x 2－2x －3＝0．∴ A （－1，0）、B （3，0）． 当x ＝0时，即y ＝－3．∴ C （0，－3）．设直线BM 的解析式为y ＝kx ＋b ．∵ M （1，－4）、B （3，0）， 则⎩⎨⎧．＝－＋，＝＋403b k b k ∴ ⎩⎨⎧62＝－，＝b k∴ 直线BM 的解析式为：y ＝2x －6． ∵ PQ ⊥x 轴于点Q ，OQ ＝t ，又点P 在线段MB 上，∴ P （t ，2t －6），∣PQ ∣＝∣2t －6∣＝6－2t ∴S 四边形PQAC ＝S △AOC ＋S 梯形OCPQ ＝21×1×3＋21（3＋6－2t ）·t ＝－t 2＋29t ＋23（1＜t ＜3）． （3）假设存在这样的点N ，使△NMC 为等腰三角形∵ 点N 在BM 上，不妨设N 点坐标为（m ，2m －6），则CM 2＝12＋12＝2， CN 2＝m 2＋［3－（6－2m ）］2，或CN 2＝m 2＋［（6－2m ）－3］2．MN 2＝（m －1）2＋［4－（6－2m ）］2△NMC 为等腰三角形，有以下三种可能：①若CN ＝CM ，则m 2＋［（6－2m ）－3］2＝2，∴ m 1＝57，m 2=1（舍去）．∴ N （57，516-）． ②若MC ＝MN ，则（m －1）2＋［4－（6－2m ）］2＝12＋12．∴ m 1＝1±510．∵ 1＜m ＜3， ∴ m ＝1－510（舍去）．∴ N （1＋510， 45102-） ③若NC ＝NM ，则m 2＋［3－（6－2m ）］2＝（m －1）2＋［4－（6－2m ）］2，解得m ＝2∴ N （2，－2） 综上所述，存在这样的点N ，使△NMC 为等腰三角形． 且点N 的坐标分别为：N 1（57，516-），N 2（1＋510，45102-），N 3（2，－2）．第5题解答图二.直线型问题中的图形变换6. （2013哈尔滨27题）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A 点的坐标为(3，0)，以0A 为边作等边三角形OAB ，点B 在第一象限，过点B 作AB 的垂线交x 轴于点C ．动点P 从0点出发沿0C 向C 点运动，动点Q 从B 点出发沿BA 向A 点运动，P ,Q 两点同时出发，速度均为1个单位／秒。

设运动时间为t 秒． (1)求线段BC 的长；(2)连接PQ 交线段OB 于点E ，过点E 作x 轴的平行线交线段BC 于点F 。

设线段EF 的长为m ，求m 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将△BEF 绕点B 逆时针旋转得到△BE 'F ',使点E 的对应点E '落在线段AB 上，点F 的对应点是F '，E 'F '交x 轴于点G ，连接PF 、QG ，当t 为何值时，2BQ-PF=第6题答案：7.（2013哈尔滨市模27题）如图．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点．直线364y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点，∠CAB=∠OCB，点E从A点出发沿AC向C点运动，点F从B点出发沿BC向C点运动，两点同时出发，速度均为1个单位，秒．并且一个点到达终点时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒．(1)求直线BC的解析式；(2)连接EF．将线段EF绕点F顺时针旋转45°，得到线段FC，过点E作EM⊥FG．垂足为M，连接MC．求MC的长；(3)在(2)的条件下．作点M关于直线EF的对称点N，连接NB、CN．当t为何值时，△CNB为直角三角形．第7题答案：8.（2012哈尔滨27题）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C,交x轴于点D．(1)求m的值；(2)点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．第8题答案：8. （2008哈尔滨28题）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝5x 21与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△ABO绕原点O 顺时针旋转得到△A´B´O ，并使OA´⊥AB ，垂足为D ，直线AB 与线段A´B´相交于点G ．动点E 从原点O 出发，以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，设动点E 运动的时间为t 秒． （1）求点D 的坐标；（2）连接DE ，当DE 与线段OB´相交，交点为F ，且四边形DFB´G 是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE 所在的直线的解析式；（3）若以动点为E 圆心，以52为半径作⊙E ，连接A´E ，t 为何值时。