第一章 行列式§1 行列式的概念1． 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值(1) 1122233233000a a a a a解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,21,11,12,1000000n n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------L L MM M M L L解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。

3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax by ay bzaz bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3) 1111221100001000001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+L L M MM M M L L L(提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。

4． 已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：1136522743340564669555356能被13整除。

（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）5． 已知5123452221127312451112243150D ==，求：(1) 1222324252322A A A A A ++++；(2) 414243A A A ++和4445A A +。

（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）6． 设()x a b ca xbc f x a bx c a b cx=，求()0f x =的根。

解1：首先，行列式展开式中含4x 项，所以()0f x =有四个根。

而通过观察，将,,x a x b x c ===代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，即,,x a x b x c ===为根。

然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：解2：（注意各行元素之和相等，可计算()f x 的值后，求根。

）§3 行列式的计算1．利用三角行列式的结果计算下列n阶行列式(1)3111131111311113 D（提示：注意各行（列）元素之和相等）(2)000000000000x yx yx yy xLLM M M M MLL（提示：可考虑按第一行（列）展开）(3) 12111111, (0,1,2,,)111n i na a D a i n a ++=≠=+L L L M M M L（提示：可考虑第一行的1-倍加到各行，再化为三角行列式）2． 用迭代法计算下列行列式(1) 2100000121000000001210000012n D =LLM M M MM M M L L解：按第一行（列）展开，得递推公式：n D = 1n D -+ 2n D -。

于是n D - 1n D -= 1n D -- 2n D -2D ==-L 1D = 。

由此得：n D = 1n D -+= 2n D -+ = ΛΛ= 2D + = 。

(2) 0000100001000000101n a b ab a b aba b D a bab a b+++=++L LL M M M M M M L L。

解：按第一行展开，有递推公式n D = 1n D -+ 2n D -，得递推公式：1n n D aD --= 12()n n D aD ---= ΛΛ= 21()D aD -= ①同理可得：1n n D bD --= ② 联立①与②，解方程组得：n D =3． 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1) 1111(1)()(1)()1111n nn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--LL M MM L L ，(0,1,2,,)a n ≠L （提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）(2) 1221111111111221222222221122111111111nn n n nn n n n n n n n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ------+---++++++++=L LMMMM ML ，)0(≠ia解：在i 行中提出ni a 因子，4．构造辅助行列式法计算下列行列式(1) 222244441111a b c d D a b c d a b c d =(缺行的范德蒙行列式)解：构造辅助范德蒙行列式22222333334444411111ab c d xDa b c d x a b c d x a b c d x =%，D 为D %中元素3x 的余子式，而22222333334444411111a b c d x Da b c d x a b c d x a b c d x ==%(2) 1212111222, 0n n na a D a a a nnn a ++=≠+L L L M M M L解：构造辅助行列式121111011102220na D a nnn a +=++L L %L M M M M L， 则n D D=%，而D =%5． 用数学归纳法证明：cos 100012cos 100cos 012cos 012cos n D n θθθθθ==L L L M M M M M L证明：（1）1n =时，等式显然成立；（2）假定等式对于小于n 阶的行列式成立；（3）（下证n 阶行列式成立）由于，n D = 1n D -+ 2n D -（注：按最后一行（列）展开） = = 所以，6． n x a a aa x a aD a a x a a a a x=LLLM M M M L，(1)0,n a x -+≠求12n n nn A A A +++L (提示：将所有行加到最后一行)§3 克来姆（Cramer）法则1．用克来姆法则解下列方程组(1)12312312324 34211 32411x x xx x xx x x--=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩(2)123121230 250x x xx xx x++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩2．当k取何值时，方程组12312312320kx x xx kx xx x x++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解第二章 矩 阵§1矩阵的概念及运算1． 判断正误（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s p ⨯矩阵，若AB BA =，则 AB 与BA 必为同阶方阵。

（ ）（2）A 与B 为n 阶方阵，λ为实数，有()()A B B A A B λλλ==⋅⋅。

（ ） （3）A 与B 为n 阶方阵，()kkkAB A B =)(N k ∈ 。

（ ）（4）A 与B 为n 阶方阵，()2222A B A AB B ±=±+。

（ ） （5）A 为n 阶方阵，()222A E A A E ±=±+。

（ ）（6）A 与B 为n 阶方阵，22()()A B A B A B +-=-。

（ ） （7）A 为n 阶方阵，2()()A E A E A E +-=-。

（ ） （8）A 与B 为n 阶方阵，T T A B A B +=+ 。

（ ） （9）A 与B 为n 阶方阵，T T A B AB =。

（ ） 2． 选择题(1) 设,,A B C 均为n 阶方阵，, AB BA AC CA ==，则ABC =（ ） (A) ACB （B ）CBA (C) BCA (D) CAB (2) 若A 为实对称矩阵，则T A A 的值（ ）(A) 0≤ （B ）0≥ (C) 0= (D) 不能确定（3）设A 为方阵，2()2f x x x =--，则()f A 为（ ）(A) 22A A -- （B ）22A A E -- (C) (2)()A E A E +- (D) 不能确定3． 设121023A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，201111B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算：(1)132A B -；(2) T AB ；(3) T A B 。

4． 计算101nn A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

(提示：先计算出23,A A ，以此归纳出n A ，然后用数学归纳法证明结论)5． 设A 为n 阶方阵，若对任意的n 维列向量z ，均有0Az =，证明：0A =。

(提示：由于n 维列向量z 的任意性，考察n 维列向量12,,,n e e e L ，证A 中各元素为0)6． 设A 为实对称矩阵，若20A =，证明0A =。