定积分的应用一 元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件(1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关；(2) U 对于区间],[b a 具有可加性； (3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ.2．写出计算U 的定积分表达式步骤(1) 根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ； (2) 设想将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量∆U 的近似值dx x f U )(≈∆( f x ()为[,]a b 上一连续函数)则称f x dx ()为量U 的元素，且记作dx x f dU )(=。
(3) 以U 的元素dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()ba U f x dx =⎰这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式)()(b x a dx x f dU ≤≤=平面图形的面积一、直角坐标的情形由曲线 ()y f x = 与()y g x = 及直线x a =，x b =()a b <且所围成的图形面积A 。
()()baA f x g x dx =-⎰例 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形面积。
解：选取y 为积分变量，则 42≤≤-y ，dy y y dA ]21)4([2-+=，()42214182A y y dy -⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦⎰例 求椭圆12222=+by a x 所围成的面积 )0,0(>>b a 。
解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。
取x 为积分变量，则 a x ≤≤0， 221a x b y -=，dx ax b ydx dA 221-==故04()4aaA f x dx ==⎰⎰作变量替换 t a x cos = )20(π≤≤t ，得A ab π=二、极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21=，从而21()2A d βαϕθθ=⎰例 计算心脏线ra a =+>(cos )()10θ所围成的图形面积。
解： 由于心脏线关于极轴对称，2220132(1cos )22A a d a πθθπ=+=⎰ 例计算r θ=，2cos2r θ=围成图形的面积解：交点5,66ππ⎛⎛⎝⎭⎝⎭)24606112cos 222A dx dx πππθθ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 46061cos 2122cos 2244d d πππθθθθ⎡⎤-⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰6π=+体积一、旋转体的体积1）计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
体积元素为[]dx x f dV 2)(π=，所求的旋转体的体积为[]2()baV f x dx π=⎰，2）由曲线0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转一周而生成的立体的体积。
2()baV xf x dx π=⎰3）由曲线)(y x ϕ=直线c y =，d y =及y 轴所围成的曲边梯形，绕y 轴旋转一周而生成的立体的体积。
体积元素为[]2()dV y dy πϕ=，所求的旋转体的体积为[]2()dcV y dy πϕ=⎰二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )取定轴为x 轴， 且设该立体在过点a x =，b x =且垂直于x 轴的两个平面之内， 以)(x A 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。
体积元素为 dx x A dV )(=，该立体的体积为 ()ba V A x dx =⎰例 计算椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积。
解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22x a aby -=及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所生成的立体。
解：在x 处)(a x a ≤≤-，用垂直于x 轴的平面去截立体所得截面积为222)()(x a a b x A -⋅=π，()222224()3a aa ab V A x dx a x dx ab aππ--==-=⎰⎰例 计算摆线的一拱(sin )(0,02)(1cos )x a t t a t y a t π=-⎧>≤≤⎨=-⎩以及0=y 所围成的平面图形绕y 轴旋转而生成的立体的体积。
解：2222210()()aaV x y dy x y dy ππ=⋅-⋅⎰⎰222220(sin )sin (sin )sin a t t a tdt a t t a tdt πππππ=---⎰⎰336a π=平面曲线的弧长一、直角坐标情形：设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+=，弧长为as =⎰二、参数方程的情形：若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，计算它的弧长时，弧微分为[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=，[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(三、极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ 此时θ变成了参数，且弧长元素为ds θ===所以s βαθ=⎰例1 计算曲线)(3223b x a x y ≤≤=的弧长。
解：dx x dx x ds +=+=1)(12，33222[(1)(1)]3as b a ==+-+⎰例2 计算摆线的一拱(sin )(0,02)(1cos )x a t t a t y a t π=-⎧>≤≤⎨=-⎩的长解：2sin 2tds a dt ===202sin 82ts a dtdt a π==⎰例3 计算心脏线r a =+≤≤(cos )()102θθπ的弧长。
解：θθθd a a ds 222)sin ()cos 1(-++==+42222422a d [cos sin cos ]θθθθ θθd a 2cos 2=22cos82s a d a πθθ==⎰面积、体积、弧长部分习题1.在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线及x 轴所围成平面图形的面积为112，求：1）切点A 的坐标； 2）求过A 点的切线方程；3）上述平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积解：设切点为()200,x x ，切线斜率02k x =，切线方程为2002y x x x =-2020001212x y x A dy x ⎛+== ⎝⎰，0x =， 2.在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点p ，使该点处的切线与椭圆及两个坐标轴围成的平面图形面积最小(0,0)a b >> 3.给定曲线21y x=，求：1）曲线在横坐标为0x 点处的切线方程； 2）曲线的切线被坐标轴所截线段最短长度。
4.求曲线231y x =--与x 轴所围成的封闭平面图形绕直线3y =旋转所得的旋转体的体积5.设曲线y =x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的表面积6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴所围成的平面图形D 1）求D 的面积2）求D 绕直线x e =旋转一周所得的旋转体的体积7.设曲线的极坐标方程为()r r θ=，(,)M r θ为L 上的任意一点，0(2,0)M L 上的一点，若极径0OM 、OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0M 、M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。
解：[]2011()22r d θθθθθ=⎰⎰ 8.已知,A B 两点的坐标分别为(1,0,0),(0,1,1)，线段AB 绕z 轴旋转一周所得曲面S ， 求：由S 及0,1z z ==所围成立体的体积解：直线AB 方程为1111x y z-==-，即1x z y z =-⎧⎨=⎩，S 被过(0,0,)z 与z 轴垂直的平面截出的截口为一个圆，此圆与AB 交于(1,,)C z z z -，所以，此圆半径为r =积为()22()1s z z z π⎡⎤=-+⎣⎦，所以V =()1220213z z dz ππ⎡⎤-+=⎣⎦⎰ 物理应用1.有一供实验用的长方体箱子，浸没在深H 的水池中，设箱底为边长为a 的正方形，高h ，密度为1μ>，先在水池底沿一侧的法向平移l 位置，此时，水阻力与受的水压力成正比，再竖直提出水面，求所做的功。
（箱底与池底的摩擦力不计） 解：计算平移时所做的功,0W lf lkp k ==>是比例系数，p 为压力在水深()x H h x H -≤≤到x dx +处的压力微元dp gxadx =（adx 为受力面积，x 为水深，水的比重为1）计算将箱子的()x H h x H -≤≤处到x d x +处的一层从水里提出水面所做的功为222()()()(1)H x F H x a dx g a dxg H x a gdx μμ⎡⎤-=--=--⎣⎦再计算将该层提到指定位置所做的功为2xa dx g μ2.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗在提升的过程中污泥以20NS的速度从斗缝中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功？ （111N m J ⨯=，抓斗高度及位于井口上方的缆绳长度忽略）。