浅谈定积分的应用**** ****（天津商业大学经济学院，中国天津 300134)摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。

关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功The Application of Definite Integral**** ****(Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China)Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definitio n of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in t he higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, t hrough the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very co nvenient and accurate.Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。

一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。

在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。

定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。

微积分是与应用联系着并发展起来的。

定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。

本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。

1定积分的基本定理和几何意义1.1、定积分的定义定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。

即由0=y ，a x =，b x =,()x f y =所围成图形的面积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。

把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的容是：如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())('x f X F =，那么()()()1)( a F b F dx x f ba-=⎰用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

1.2、定积分的几何意义()⎰b adx x f 2)(当0)(>x f 时，⎰badx x f )(是曲边梯形的面积如图1a 所示；当()b x a x f ≤≤≤0)(时，⎰b adx x f )(是曲边梯形的面积的负值1b 所示；（a ）0)(>x f (b) ()b x a x f ≤≤≤0)(图1定积分的几何意义图示2定积分的应用1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线x y 42=与直线42-=x y 围成的平面图形D 的面积S 。

2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数()t v v =，()()0v ≥t 在时间区间[]b a ,上的定积分。

3，变力做功某物体在变力()x F F =的作用下，在位移区间[]b a ,上做的功等于()x F F =在[]b a ,上的定积分。

3定积分的应用举例3.1、平面图形的面积3.1.1、直角坐标系下平面图形的面积(1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线a x =，b x =，b a <及两条连续曲线()x f y 1=，()x f y 2=，()()x f x f 21<所围成的平面图形称为X －型图形如图2a ；把由直线c y =，d y =d c <及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)≤g2(y))所围成的平面图形称为Y －型图形。

如图2b（a ）X －型图形 (b) Y －型图形图2平面图形的面积注意：构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点。

把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形。

１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，[]b a x ,∈。

在区间[]b a ,上任取一微段[]dx x x +,，该微段上的图形的面积dA 可以用高为()()x f x f 12-、底为dx 的矩形的面积近似代替。

因此()()[]()3dx f -x f dA 12 x =从而()4.)]()([A 12 ⎰-=ba dx x f x f２）微元法分析Y －型图形的面积 ()5.)]()([A 12 ⎰-=dc dy y g y g对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积。

例1求由两条抛物线x y =2，2x y =所围成图形的面积A 。

如图4所示。

图4解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,22x y x y 得交点(0，0)，(1，1)。

将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分区间为[0，1]。

由公式(5)，所求图形的面积为1 0 31 0 23132)(A 23x x dx x x -=-=⎰=31。

例2 求由曲线x y 22=与直线22+-=x y 所围成图形的面积A 。

如图5所示图5解解方程组⎩⎨⎧+-==,22 ,22x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)。

积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]。

所求图形的面积为12- 312- 22]6141[]21)211[(A y y y dy y y ⎰--=--==49。

3.1.2、极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线()θr r =及两条射线αθ=，βθ=，βα<所围成的平面图形为曲边扇形。

在[]βα,上任取一微段[]θθθd =,，面积微元dA 表示这个角的小曲边扇形面积，()[]()6 2d r 21=dA θθ所以()⎰=βαθθ 27)]([21 d r A 。

例3求心形线()θcos 1+=a r ，0>a 所围成图形的积A 。

如图6所示。

图6解因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积A 是极轴上方图形A1的两倍。

极轴上方部分所对应的极角变化围为[]πθ,0∈，由公式(7)，所求图形的面积为⎰⨯=βαθθ 2)]([212A d r =⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)2223|2sin 41sin 223a a πθθθπ=++ ⎝⎛。

3.2、空间立体的体积 3.2.1一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面a x =，b x =之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中b a <，如图所示。

如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为()x A A =，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式。

过微段[]dx x x +,两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元()dx x A dV =。

因此立体体积，如图7所示。

图7空间立体的体积().8)( V ⎰=badx x A例4经过一如图8所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块，求此楔形块的体积V 。

如图8所示。

图8解：据图8，椭圆方程为164422=+y x 。

过任意[]2,2-∈x 处作垂直于x 轴的平面，与楔形块截交面为图示直角三角形，其面积为()αααtan 4132tan .21tan .2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===x y y y x A ()αtan x -482=应用公式(8)V=⎰--222)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α。

3.2.2、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴。

把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积()x A 是很容易得到的。

如:9、10，设曲边方程为()x f y =，[]b a x ,∈()b a <，旋转体体积记作()x V 。

图9旋转体绕Y 轴旋转的的体积图10旋转体绕X 轴旋转的的体积过任意[]b a x ,∈处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为()x f 的圆，因此截面面积()()2x f x A π=。

应用公式(8)，即得()()⎰=badx x f x V 29)]([ π类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积()y V 计算公式()()10)]([ 2 ⎰=dcdy y g y V π其中的()y g x =是曲边方程，c ，d(c<d)为曲边梯形的上下界。

例5求曲线y=sinx(0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积Vx 。

图11解Vx=π⎰b adx x f 2)]([=π⎰π2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π。