高中数学常用知识点一、函数1.函数的单调性证明(1)对于区间T 内任意取两个值21,x x ：①当21x x <时，)()(21x f x f <，则)(x f 为增函数②当21x x <时，)()(21x f x f >，则)(x f 为减函数（比较两个数之间大小的方法：作差、变形、与零比较）2.函数单调性判断(1)如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;(2)如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上单调性相同时,则复合函数)]([x g f y =是增函数；单调性相反时，)]([x g f y =是减函数3．函数的奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称;(2)偶函数的图象关于y 轴对称;(3)若函数)(x f y =是偶函数，则)()(x f x f =-;(4)若函数)(x f y =是奇函数，则)()(x f x f =-.注意;定义域优先考虑。
4.函数的周期性(1) 若)()(a x f x f +=,则函数)(x f y =为周期为a 的周期函数.(2)若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.5.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2) 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x += 6.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根⇒ 0)()(21<k f k f ,反之不成立.7.对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。
口诀：奇变偶不变，符号看象限。
10、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.11、二倍角公式x x x cos sin 22sin =.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 12、三角函数的周期函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 13、 函数sin()y x ωϕ=+的周期、最值、单调区间、图象变换14、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 15、正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C===. 16、余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.17、三角形面积公式111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 18．常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤ 19、a 与b 的数量积(或内积)θcos ||||b a b a ⋅=⋅20、平面向量的坐标运算(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +.(3)设a =),(y x ，则22y x a +=21、两向量的夹角公式 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则 222221212121cos y x y x y y x x b a ba +⋅++=⋅=θ22、向量的平行与垂直b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.23. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则：（1）O 为ABC ∆的外心(三边中垂线交点)222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心(三边中线交点)0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心(三边高的交点)OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心(三内角平分线交点)0aOA bOB cOC ⇔++=. 三、数列24、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).25、等差数列的通项公式 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；26、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 27、等比数列的通项公式 1*11()n n n a a a q q n N q -==⋅∈； 28、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a q q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.29、数列常见性质：已知n S ，n a ，n 的递推关系，求n a思路：能化简的先化简，n 的地方用n-1代，难一点的需要代两次。
四、不等式30、（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）b a b a b a +≤+≤-.五、解析几何31、直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 32、两条直线的平行和垂直若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.33、点到直线的距离d = (点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).34、 圆的三种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. 35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，222b c a =-，离心率1<=a c e ，参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 双曲线：12222=-b y a x (a>0,b>0)，222b a c =-，离心率1>=a c e ，渐近线方程是x ab y ±=. 抛物线：px y 22=，焦点)0,2(p ,准线2p x -=。
（双曲线焦点到渐进线的距离：b.） 36、抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径2||0p x PF +=.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。
） 37、过抛物线焦点的弦长x x p x p x AB +=+++=21212238、椭圆焦点三角形面积公式： 2tan 221θb S PF F =∆双曲线焦点三角形面积公式：2cot221θb S PF F =∆六、立体几何 39．空间几何体体积（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高） V 柱体=Sh 13V Sh =锥体 V 台体=1(')3h S S 球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=． 40.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a .。