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环的同态基本性质
定理1 设(R1,+, )是一个环，(R2,⊕,⊙)是一个代数系。 如果存在一个从R1到R2的满射f，使得x, y R1有 f(x+y) = f(x)⊕f(y)， f(x∘y) = f(x)⊙f(y) 则(R2,⊕,⊙)是一个环.
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环的同态基本性质
定理2 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1 到R2的满同态，则 (1)如果01和02分别是R1与R2的零元，则f(01)=02； (2)如果e1和e2分别是R1与R2的单位元，则f(e1)=e2； (3) x R1 ， f(-x)=- f(x)； (4)如果x R1 ，x有逆元x-1，则f(x-1) =[ f(x)]-1； (5)如果S是R1的一个子环，则f(S)是R2的一个子环； (6)如果T是R2的一个子环，则f -1(T)是R1的一个子环.
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环的同态基本定理
定理5(环的同态基本定理) 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是 两个环。 f是从R1到B的满同态, 则R1 /Kerf ≌ R2.
定理6 设f 是从环R1到环R2的同态，N2是R2的理想， 则 N1 =f -1(N2)也是R的理想，且R1/ N1 R2/ N2 .
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第13节 环的同态基本定理
主要内容: 环的同态定义 环的同态基本性质 环的同态基本定理
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环的同态定义

定义1 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。如果存在一个 从R1到R2的映射f，使得x, y R1有 f(x+y) = f(x)⊕f(y)， f(x∘y) = f(x)⊙f(y) 则称f 是R1到R2的一个同态(映射)，而称环R1 与R2 同态. 若同态f是满射，则称f 是R1到R2的一个满同态(映射)， 而称环R1 与R2满同态，并记为R1 ~ R2 . 若同态f是单射，则称f 是R1到R2的一个单同态(映射)， 而称环R1 与R2单同态. 若同态f是双射，则称f 是R1到R2的一个同构(映射)， 而称环R1 与R2同构，并记为R1 ≌ R2 . 2/6
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环的同态基本性质
定理3 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1到 R2的满同态，01和02分别是R1与R2的零元，则f -1(02) 是R1的一个理想. 定义2 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1到 R2的满同态，01和02分别是R1与R2的零元， R1的理想 f -1(02)称为f的核，记为Kerf. 定理4 设N是环R的一个理想，则R~R/N，且N是这个 同态的核.