《 抽象代数基础 》教案
授课时间第12次课
授课章节
1.6群的同构与同态
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握群的同构定理和同态定理
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：令
由于，若 则 ，于是 ，而 ，所以 ，因而 的定义是合理的，显然 是满射。
教学重点，难点：
Cayley定理；群的同态基本定理
教学内容：
1.6群的同构与同态
1、定义1设 和 是两个群，f是G到 上的一个一一对应，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同构。
2、定理1（Cayley定理）任意一个群都与一个变换群同构
3、推论1任意一个有限群都与一个置换群同构
证明：由定理1，若G是有限群， ，则与G同构的变换群是一个由n个元素构成的集合上的变换群，因而它是 的一个子群，所以G与 的一个子群同构。
教学内容：
对 若 则 ，于是
，因而 ，故 ，所以 是单射，从而 是双射，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又由于，对 有
所以 是群 到 的一个同构，因而 。
10、定理5设G是循环群，如果G的阶无限，则 ；如果G的阶为n，则 。
由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构
11、定理6设G是一个群，N是G的正规子群，
（1）若H是G的子群，则
4、定义2设 和 是两个群，f是集合G到 的一个映射，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同态。
5、命题1 f是群G到 的一个同态，e和 分别是G和 的单位元，则
（1）
（2）对 有 。
6、命题2 f是群G到 的一个同态，则
（1）Ker（f）是群G的正规子群
（2）Im（f）是群 的子群。
7、定理2 f是群G到 的一个同态，则