2.0003 0.8171 3.6516 , A25 0.0002 0.3336 3.7 263 0.7456 2.3333
2.0002 2.9999 2.2374 。 A26 0.0001 2.9996 2.23 66 2.2349 0.9998
我们称这种分块上三交阵为矩阵A的Schur分块上三角阵，
为了节省运算工作量，实用的方法是先将矩阵约化为与Schur分块上三角
阵相似的Hessenberg形。
（bij） Rnn的次对角线以下的元素bij =0 定义 若矩阵B
(i>j+1), 则称B为上Hessenberg矩阵，简称Hessenberg形，即
0.283205888 A3 0.157002612 0 0.287735078 A4 0.036401350 0
Pn2，则定理得证。
推论 对于任何对称矩阵A Rnn , 存在正交阵Q，使得B QT AQ为 对称三对角阵。
4.2
QR算法及其收敛性
QR算法可以用来求任意的非奇异矩阵的全部特征值，是目前计算这类问 题最有效的方法之一。它基于对任何实的非奇异矩阵都可以分解为正交阵Q和 上三角矩阵R的乘积。
设向量w Rn , w 2 1, 则称
H (w) I 2wwT
为（初等）镜面反射矩阵或Householder变换矩阵。
Houholder矩阵H=H（w）有如下性质：
(1) (2)
H是对称正交阵，即H H T H 1。
对任何x Rn , 记y Hx, 有 y 2 x 2
1 B

n 1

若B有一个次对角元如 k （ 0 1 k n 1), 则B是可约的， 否则是不可约。对于可 约的Hessenberg 形，可把求解特征值的
问题约简为求解较小的 矩阵的特征值问题。
Householder变换
R11 R12 R1m R22 R2 m T Q AQ R mm 其中的对角块 Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，每 一个一阶对
角块即为A的实特征值，每一个二 阶对角块的两个特征值 是A的 一对共轭复特征值。
第四节 QR方法
4.1
化矩阵为Hessenberg形
4.2
QR算法及其收敛性
4.3 带原点位移的QR算法
4.1
化矩阵为Hessenberg形
对于实对称矩阵，可通过正交相似变换约化为对角矩阵。那么，对于一般的 实矩阵，通过正交相似变换可约化到什么程度呢？ 定理 （实Schur分解定理）
对于任何矩阵 A Rnn , 存在正交矩阵 Q，使得
（2） A Q k R k , 其中Q k Q1Q2
Qk， R Rk
R2 R1。
证 (1) 可从QR算法消去R直接证得。
T Ak Qk 1 Ak 1Qk 1 (Q1Q2
Qk 1 )T A(Q1Q2
__ __
Qk 1 ) Q k 1 AQ k 1 ,
T
Q k R k Q1Q2
记a2为A2的第2列对角线以下（n 2）维向量，那么同理可构造
n 2阶对称正交阵 H 2，使得H 2a2 2e1, 其中e1 (1,0,,0, )T Rn2。记I 2
为2阶单位向量，P 2 diag ( I 2 , H 2 ), 显然P 2为对称正交阵。
1 2 A3 P2 A2 P2
__ __ T
__
__
Qk Rk
__
R2 R1 Q k 1 Ak R k 1
__ __ __
Qk 1 Qk 1 AQ k 1 Rk 1 AQk 1 Rk 1 。
由此推及A Qk Rk Q k 1 R k 1
__ __ __ __
, 注意到 Q 0 R 0 I，
例
用QR方法求下列矩阵的全部特征值。 3 5 1 4 1 3 (1) 13 13 1 , (2) 2 1 1 。 13 5 1 2 1 1 先用镜面反射变换化矩阵A为Hessenberg形矩阵 A1 ，然后用平面
An1 Pn2 An2 Pn2 Pn2
若记B An1, Q PP 1 2

。
Pn2。
如此类推，经n-2步对称正交相似变换，得到Hessenberg形矩阵。
P2 P 1 AP 1P 2
例 用带原点位移的QR算法求下列矩阵的特征值：
1 1 2 A 2 4 1 1 1 6
解 先用镜面反射变换把A化为上Hessenberg矩阵。
1 A1 H T AH 5 0 5 3.6 0.2 0 0.2 6.4
从计算结果来看，迭代收敛于Schur分块上三角形，对角块分别是1阶和2阶子
矩阵。事实上，矩阵 A25 和A26的右下角的 2阶子矩阵的特征值都是 0.9999 1.0000 i，迭代已接近收敛。
定理 QR算法产生的序列 Ak 满足: （ 1）
T Ak 1 Qk Ak Qk ;
k __ __ __ __
收敛到上三角阵，其对角极限为
(k ) lim aii i , i 1,2,, n。 n
更一般地，在一定条件下，由QR算法生成的序列 Ak 收敛为Schur分块上 三角形，对角块按特征值的模从大到小排列，上述定理是它的特殊情形。当收 敛结果为Schur分块上三角形时，序列 Ak 的对角块以上的元素以及2阶块的 元素不一定收敛，但不影响求全部特征值。
c s
s c
若y Gx, 其中, x ( x1, x2 ,..., xn )T , y ( y1, y2 ,... yn )T ,
y i xi cos x j sin , y j xi sin x j cos y k x k , k i, j ,
(1,0,
1 T ,0)T Rn1。记P diag (1, H ), P 对称正交阵， P P P 1 1 1 1 1 1
用P 1对A 1作相似变换，可得
1 A2 P 1A 1P 1
。
S为与w垂直的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。
(3)
, 存在正交矩阵Q，使得 定理 对于任何矩阵A Rnn，
B QT AQ。
为Hessenberg形。
证 设A1 A ，a1为A1的第一列对角线以下（n 1 ）维向量。
可构造(n 1)阶Householder矩阵H1，使得H1a1 1e1, 其中e1
解
Hale Waihona Puke 旋转变换作QR分解进行迭代，生成序列 Ak 。（1）的计算结果为
3.0000 4.3077 2.7282 A1 13.9284 12.9738 5.5361， 0.4639 1.2062
10.1133 17.7711 0.8265 A2 1.5511 0.6362 0.9381 ， 0.4656 1.5229
6.0000 16.9712 9.2364 6.0001 16.9820 9.2165 A16 0.0000 3.0019 1.6317， A23 0.0000 3.00001 1.6329。 0.0000 1.9999 0.0012 1.9980
矩阵序列 Ak 的方法称为QR算法或基本QR算法。
一般在实际使用QR方法之前，先用镜面反射变换将A化为Hessenberg形矩 阵B，因为上 Hessenberg阵B的 次对角线以下元素均为零，所以用平面旋转 变换作QR迭代计算量很小。
平面旋转变换即Givens变换。
1 G G (i , j ) 。 1
QR算法的收敛速度与特征值的分离程度成正比。
4.3 带原点位移的QR算法
前面我们介绍了在反幂法中应用原点位移的策略，这种思想方法也可用于QR算法。 一般我们针对上Hessenberg矩阵讨论QR算法，并且假设每次QR迭代中产生的 都是不可 约的，否则可以将问题分解为较小型的问题。带原点位移的QR算法可以描述为：
第i步(i 1,
n -1)，处理矩阵B的第i列，若 xi x j 0
2
2
c
xi xi x j
2 2
,s
xj xi 2 x j 2
则 yi
xi 2 x j 2 0 xi x j xi x j
2 2
yj

xi x j xi x j
2 2
0
y k xk ( k i , j )
若按第一种方法取位移量，即取位移量为右下角元素，则有s1 6.4,
0 0.200234192 0.666846149 A2 R1Q1 6.4 I 0.666846149 4.779171336 0.002432908 0 0.002432908 6.421062856
于是Ak 都与A1相似，从而与原矩阵A相似。
位移量有下列两种取法：
1 sk
ann 。
k
k an 1,n 1 2 sk 取为矩阵 a k n ,n 1
an 1,n ,(对称矩阵加速） k ann
k
k 的特征值中与ann 最接近的一个。
__
__
即证得（2）。定理得证。