2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I)
函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。

也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。

现举例如下：1．比较大小
例1．比较与的大小：
解：，
由于及0<lg8<lg9，即，
又∵ y=lgx是(0,+¥)上的增函数，
∴。

2．解方程
例2．解方程。

解：∵ y=a x(a>1)在R上是增函数，
又∵,
∴,
,
(1)+(2),,
当时取“=”号，
∴解得，
∴原方程的解是。

3．证方程至多有一个实根
例3．试证方程x3+x+1=0至多有一个实根。

证：（反证法）。

令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1,
∴ f(x1)=f(x2)=0 (1)
∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数，
又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2)
由(1),(2)知，两者矛盾，
故方程x3+x+1=0至多有一个实根。

4．解不等式
例4．解不等式(2x-1)5+2x-1<x5+x.
解：原不等式两边的结构都是t5+t的形式，故令f(t)=t5+t, 则原不等式可写为
f(2x-1)<f(x),
∵ f(t)=t5+t在R上是增函数，
∴由f(2x-1)<f(x)得2x-1<x，解得：x<1.
∴原不等式的解是x<1。

5．求值
例5．已知(4x+y)7+x7+5x+y=0，求5x+y的值。

解：把条件等式变形为(4x+y)7+(4x+y)=-(x7+x).令f(t)=t7+t，则上式可写为f(4x+y)=-f(x).
又∵ f(x)=x7+x是奇函数，f(-x)=-f(x),
∴ f(4x+y)=f(-x),
∵ f(t)=t7+t在R上是增函数，
∴由f(4x+y)=f(-x)得4x+y=-x故5x+y=0。

6.求最大（小）值
例6．求函数最大（小）值。

解：令，则
∴在[-3，4]上是增函数，
∴当x=-3时y最小=；
当x=4时，。

例7．求函数在上的最小值。

解：把条件式化为，可以证得f(x)在上是减函数，在上是增函数，
∴当。

注：利用的单调性。

7．证条件不等式
例8．已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1，求证：。

证：条件不等式两边皆为两个互为倒数的代数式之和，于是令,且1>x2>x1>0,则
∴在(0,1)上是减函数，
又∵, ∴.
即。

例9．已知|a|<1, |b|<1,|c|<1，求证abc+2>a+b+c.
证：令函数f(a)=abc+2-a-b-c=(bc-1)a+2-b-c, 视它为关于a的一次函数。

∵ |b|<1, |c|<1, ∴bc-1<0,
故一次函数f(a)在(-1,1)上是减函数，
又f(1)=(1-b)(1-c)>0,
∴ f(a)>0，即abc+2>a+b+c.
8．证函数的性质
例10．试证函数f(x)=x-asinx(x∈R, 0≤a<1)具有反函数。

证：设x1, x2是任意两个实数，且x1<x2,
则
∵,
∴,
∴, 而x2-x1>0, ∴ f(x2)>f(x1).
∴函数f(x)在0≤a<1条件下，在R上是增函数，因而f(x)存在反函数。