线性方程组求解习题课一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。
解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为3504JI B λλλ-=+=，得特征值1230,,22i iλλλ===-得()12J B ρ=> ，由定理知Jacobi 迭代法发散。
对Seidel 迭代法，迭代矩阵为()1S B D L U -=-=120001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。
二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11220a a ≠，112221120a a a a -≠。
证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
证明：12111111222212122000000J a a a a B a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭()212211122det J a a I B a a λλ-=-，故()J B λ= ()J B ρ=。
121111112212212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12211,211220,S a a B a a λ=，得 ()12211122G a a B a a ρ=。
注意到()()1221112211J S a a B B a a ρρ=<⇔=< 由定理Jacobi 和Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
三、对于12313211x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若用迭代公式()()()1()k k k xxAxb α+=+-，k=0，1，2，…取什么实数范围内的α可使迭代收敛？ 解：迭代公式可写成()()()1k kx I A x b αα+=+-迭代矩阵为B I A α=+。
易求出A 的特征值为1和4，故有B 的特征值为1α+和4α+。
所以(){}max 1,14B ραα=++要收敛，由定理有()111101412B αραα⎧+<⎪<⇔⇔-<<⎨+<⎪⎩。
所以1,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭是迭代收敛。
α取什么值可使收敛最快？四、设A 是n 阶非奇异阵，B 为n 阶奇异阵，试证：()1A B Cond A A-≤ 其中，∙是矩阵的算子范数。
证明：因为Cond(A)= 1A A -∙，所以本题不等式的证明可转化为证明11A A B -∙-≥1A -存在显然。
注意到()111I A B A A B A A B ----=-≤∙-为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B 对应的齐次方程组Bx=0。
因为B 是奇异阵，存在非零向量y 满足By=0，用1A -左乘得10A By -=，有 ()1y I A B y -=-两边取范数有()11y I A B y I A B y --=-≤-∙因为0y ≠，得11,I A B --≥而11I A B A A B ---≤∙-所以有11A A B -∙-≥,证毕。
五、 设,n n A B R ⨯∈，A 非奇异，对线性方程组1122A B x b B A x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有块Jacobi 迭代法()()()()11121221k k k k Ax b Bx Ax b Bx ++=-=-试给出其矩阵迭代格式和块Seidel 迭代格式。
解：Jacobi 迭代公式可写成()()()()111112220000k k k k A x B x b A B b x x ++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故有块Jacobi 迭代矩阵格式为()()()()111111122200k k J k k x x b A C b A x x +--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111000000J B A A B C B A A B-----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦块Seidel ()()()()111211121k k k k Ax b Bx Ax b Bx +++=-=-六、用列主元与全主元方法解方程组12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：1、列主元法进行计算过程：12315410054100123130.11230.112⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦主元为5，于是进行如下迭代：10.82010.8200 1.2110 2.5520520 1.2112.510.82010.82010.8200120.80120.80120.80 1.21100 1.449001 1.425⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦消去第一列的二三两行后，主元是-2.5，于是进行如下代换回代得到解：1231.2,2, 1.4x x x ===-2、使用全主元法过程：1233213211012311045054100321130.11210.1321045000.80.5100.5 2.52x x x b x x x b x x x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦在矩阵中，主元为，于是进行迭代，得到如下矩阵：31231210540105400 2.50.520 2.50.5200.50.8100.7 1.4x x x b x x x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦迭代完毕，得到新的主元为2.5，则进行如下迭代：回代得到解：123 1.221.4x x x ===-七、设ij n A a ⎡⎤=⎣⎦是对称正定矩阵，经过高斯消元法一步后，A 约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中(1)21ij n A a -⎡⎤=⎣⎦，证明： （1）A 的所有对角元素0ii a >；（2）2A 是对称正定阵证明：（1）因A 对称正定，故0,1,2,,T ii i i a e Ae i n =>=其中T =(0,,0,1,0,,0)i e 为第i 个单位向量（2）由A 的对称性及消元公式得1(1)(1)1111111;(,2,,)j i ijij j ji i ji a a a a a a a a i j n a a =-=-==故2A 也对称又111120Ta a L A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 21111111111n a a L a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非奇异，从而对任意的0x ≠，有()()()111110,0TT TT T T L x xL AL x L x A L x ≠=>由A 的正定性，有11TL AL 正定。
又1111200T a L AL A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而11a >0，故2A 正定。
八、给定线性方程组112233111231n n n n a c a c a c a c b bb b b ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1231n n x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1231n n d d d d d -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中()011i a i n ≠≤≤-且系数矩阵是非奇异的。
试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。
并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。
分析：根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。
解：记()111n n b b d d ==第一次消元：记111.b l a =-将第一行乘1l 加到第n 行，并记()()21221111nn b b l c d d l d =+=+第二次消元：记222b l a =- 将第二行乘2l 加到第n 行，并记()()32332222nn b b l c d d l d =+=+类似做法直到第1n -次消元：记111n n n b l a---=-将第1n -行乘1n l -加到第n 行，并记()()11111nn n n n n n n n n b b l c d d l d -----=+=+经过以上1n -次消元得同解得两对角方程组为1122331n n n a c a c a c a a b -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1231n n x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()1231n n n d d d d d -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭用回代可以求解。
最后算法为：（1）()11nn b b d d == （2）对1,2,1i n =-依次计算ii ib l a =-，11i i i i b b lc ++=+，()()1i i n n i id d l d +=+（3）()n n n nd x b =（4）()11,2,,1i i i i id c x x i n n d +-==--（II）乘除法（5n-4）加减法3(n-1）。