第一讲，曲线的连续性1.曲线的连续性G0、G1、G2、G3……这些都是NURBS软件中表示连续性的词。

那么如何能更好的去理解他们呢？下面我们以三个控制点的两条曲线为例，分别来介绍下它们的涵义。

从字面上来理解，两曲线的端点没有相接就谈不上连续，如图1；(图1，无连续)那么当它们的端点相接以后，就至少是G0。

可以执行CurvatureGraph命令，俗称曲率梳命令来对曲线进行连续性的检测。

完毕之后，两曲线相接处的曲率梳呈现出v 字形（黄色高亮显示）或锐角，也就是曲率梳有开口，这种情况我们就称它为G0，如图2；(图2，G0)两曲线端点相接且相切就是G1，它们的切线方向一致。

特征是:两相接曲线最末端的两个控制点相互排成一直线。

再来看曲率梳，你会发现，原来在G0中出现的V形开口消失了，却重叠成一条平滑直线，这种情况我们叫做G1，如图3；(图3，G1)我们用Match命令将这两条曲线匹配成Curvature(曲率)，即G2。

如图4。

G2可以理解为光顺。

依然打开曲率梳来看G2的情况，如图5，两曲线相接处的曲率梳呈现出1字形（黄色高亮显示），并且两边的曲率梳还一样长，这种情况我们称之为G2。

(图4，Match命令对话框)(图5，G2)那么G1、G2他们的原理是什么呢？我们在G1的图上来标示圆角看下，可以发现曲线的任意处都有他的曲率圆，如图6。

(图6，曲率圆)我们把这图拆开来，对着曲线标注半径。

会发现G2连续的两条曲线有共同的曲率半径，如图7。

(图7，标注半径工具检测G2曲线的曲率半径)说了半天的曲率梳，那么他代表的是什么呢？曲率梳的梳齿代表的是曲率半径的大小以及垂直曲线的方向(法向)。

长度代表曲率半径大小，曲率方向代表法向，如图8。

(图8，曲率半径，以及法线方向)比如G1就是法向一致，所以两曲线相接端点处的切线方向也会一样，斜率相同。

而G2则是两曲线相接端点处斜率相同并且曲率半径相同，如图9。

(图9，G1的曲率梳)在通过对G0、G1、G2理解的基础上，我们来看下G3的概念。

如图10，G3的曲率梳感觉不出来是两个扇形。

(图10，G1、G2、G3的曲率梳的对比情况)现在看下如何手动调整两曲线的连续性到G3，如图11。

图中线段的点都是等分点，三条直线各被点分成了5等份，其实还可以不同的等分值，只要满足比例条件就可以了。

（图11，G3连续的控制点比例位置）图11，红色、蓝色两条各有三个控制点的二阶曲线，在满足公式AD:DB=CE:EA=EF:FD时，两曲线的连续性达即可到G3。

ISO连续和曲面连续的关系：（图12）（图13）图13两曲面就是斜向关系，也就是他们的ISO不连续，但是曲面是连续的。

为了证明这点，我们打开模型的控制点，选择中间三排控制点后一起往上拉来做强调。

看到的是G2连续的，如图14。

（图14）对于Untrimed曲面，边界也是ISO,边界ISO不连续时，内部ISO也会有部分的不连续。

如果ISO不连续，这两个曲面之间就只能是逼近连续了。

其实这没什么大影响，因为两曲面ISO不相等时，也只是属于逼近连续，只要在我们误差要求范围内，都是容许的。

绝对连续只会发生在ISO相互对应且零误差缝隙的曲面之间。

平时做模型，只要求逼近就行了。

一般做法都是先做出一阶面，然后Match自动提升到3阶，这样比较容易达到平滑且不扭曲。

边界有夹角，ISO连续时，其实也是逼近的，尤其是夹角小于30度时，曲率误差会很大；夹角大于45度时，肉眼基本上看不出斑马纹的瑕疵了。

如图15，这个夹角其实也是逼近G2而已，但是看不出瑕疵。

除了汽车行业，一般做产品设计的都能允许这种公差。

（图15，曲面ISO与连续性）如图16，这两个曲面的尖端处也比较容易出现误差。

一般两种方式可以降低不顺。

其中一种就是提升曲面到5阶或更高阶，就会降低误差。

（图16，边界不连续两曲面）下载 (27.18 KB)2009-3-3 13:05来看看这图ISO不连续时，角度夸张的情况下，Match G2就只会得到G0。

而左边是Degree=5 的1Span，MATCH G2 OK且保持iso不连续。

5阶应付两个面的匹配已经够了，虽然理论上5阶也会有问题，但是已经没有工具能分析他的误差。

三面的匹配非要7阶不可，三面混接的时候会互相干扰，因为控制点不足，所以5阶误差就会大些。

这种情况下要么+span，要么就升阶来解决这个问题。

看下三个曲面都是match G2下3、5、7阶显示的区别，3阶：5阶：其实还是有锐角存在，转动时还是看得出来微微的消失锐角。

7阶：7阶的时候肉眼很难察觉这个锐角了，转动也查不出来。

这个误差关系到A级曲面，A级曲面会要求这种地方的误差不是1 span而已，上面这个实例同样都是1 span ，但是衔接的地方质量不同！A级曲面的定义是：必须满足相邻曲面间的间隙在0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到0.001mm），切率改变( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改变(curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。

原生边相接(没剪切)曲面间的间隙是0mm，这就要求曲面的属性也必须相同。

不过很难作到整车都不用剪切。

其实原理不深入了解也没关系，方法知道就好办了。

保持曲面连续性同时移动控制点位置改变曲面造型：1span (最简)就是 2阶3个控制点3阶4个控制点.....一此类推容易修改造型也是1Span的好处之一。

原因是最简曲面边与边之间没有误差，如图17。

（图17，最简曲面边与边之间的关系）对图17中的模型，我可以任意修改造型而不用重新构线画面。

拖曳模型控制点的时候不会有裂缝，甚至可以保持连续性。

如平面只要点在一直线，就可以保证G2的连续，注意看图17最后三个图例。

这个特性在画车的时候非常有用，画汽车时候最需要修改，而绝不会画好的面就不动了。

要最简曲面画车有个重要的技巧：首先整体分析车体大型。

通常先铺出一阶面，然后在Match 中自动升阶或者也可以用手动升阶，不过手动升阶时候不可以用Rebuild ，而应该用ChangeDegree。

Change Degree会保留曲线的节点均匀性，这是跟重建曲线最大差别。

当然阶越高文件会越大，提高阶数的目的是为了降低iso不连续时曲面连续的误差。

而画汽车的时候也非常注重曲面的质量，一般我们说质量好也就是曲面该顺的地方顺，衔接的地方误差很小或者零误差，曲面尽量没有多余的控制点，使文件量缩小，导到实体软件时运算量减小而失败率降低。

如图18，汽车曲面都在五阶以上。

下载 (27.11 KB)2009-3-3 13:11（图18，最简曲面画汽车）1.曲面的连续性对直线做G2连续的数学涵义先向各为介绍这王教授简历：CAD&CG高科技奖、一等奖获得者：王国瑾教授（浙江大学数学系）。

男，1944年10月生。

主要研究方向为计算器辅助几何设计与图形学。

现为浙江大学数学系教授，博导。

以下向王教授求证所言：按数学上的观点来看，我认为你们对NURBS曲线理解欠妥。

因为一般一次NURBS曲线，也就是一段直线。

把它与已知直线做连续拼接，那是无实用价值的平凡情况，且是无限阶连续。

所以你的事情应当是指3阶NURBS曲线与已知直线做连续拼接，那肯定是G1连续，做不到G2连续。

因为G2连续必须两者在拼接点有公共的曲率圆。

ICAD 曲面设计人员参考手册中这样描述：C0 连续性意味着两个相邻段间存在一个公共点（即两个段相连）。

C1 意味着有一个公共点，并且多项式的一阶导数（即切向矢量）是相同的。

C2 意味着一阶导数和二阶导数都相同。

几何连续性没有数学连续性严格：G0和C0的意思相同，即两个段在位置上的连续。

G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。

G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。

下面为问答：C：从数学上是否意味着任何2次以上的曲线对着直线(1次)做G2连续,最高只能得到G1?王教授：对, 只能得到G1。

C：直线曲率=0, 只要曲线末端曲率=0, 就可以称为G2, 这样的理论正确吗?王教授: 错误, 因为曲线末端曲率=0是不可能的C：那么从数学上如何解释呢?王教授: 曲线上任何一点(包括末端)处的密切圆的半径都是一个有限数, 而此点处的曲率为以上半径值的倒数, 故不为0。

以下为结论：不论Gcon如何该改判定, 只是为了减少使用者的争议, 就数学上来说直线只能做到G1。

Cafer跟Mikko讨论后决定未来Rhino V4 Gcon判定：另一边由曲线接直线接G2这里的认定，因为与直线端点一样是没有曲率的（曲率圆无限大），所以"曲率圆无限大=曲率圆无限大"，改为判定为G2。

也就是说：1）打断直线；2）对直线衔接或是混接G2的共享点处；3）两边六点控制点共线。

曲面的连续性在讲曲面连续性之前，我们先来看下曲线倒角。

将下图直角线段倒角。

倒角后其实就是补上一个圆弧。

这段圆弧对两边直线产生G1连续。

为什么是G1？因为控制点排列在同一直线上，所以倒角命令出来的就是G1。

倒角一定有三个控制点共线的状况，这也可从曲率梳来看。

你会发现直线没有曲率梳。

前面讲过梳齿长度就是曲线瞬间半径，直线没有半径，所以没有曲率梳。

但是它仍然具有方向。

而G1的含意就是方向一致。

所以直线可以做到G1。

没有曲率半径，所以数学含意上不能做G2。

因此弧线与直线连续的话，顶多只能到G1。

对直线做G2连续，严格来说也不叫G2。

原因就是前面说的“直线没有曲率，只有方向”。

这里留个问题，“既然说曲线对直线的连续只能做到G1，那么对两直线做Blend G2有意义吗？”虽然我们用GCON检测工具检测曲线对直线的连续能得到提示是G2的结果，这当中的缘由就是前面那段王国瑾教授与原厂CAFER讨论的对话历史。

Rhino2.0时，曲线对直线的连续判定为G1，数学上是正确。

后来因为造型上争议，把直线判定改成G2。

在3.0后就改了。

来看下直线Blend后的曲率梳，右边的是Blend G2，看它的梳子图，你会发现接近直线处急速向下为零。

也就是说端点顺接处的曲率半径趋近消失（无曲率）。

趋近消失不代表没有。

单一的1Span曲线是不可能没有曲率的，除非所有控制点都在同一直线上。

只要有一点不在这一直线上，整条曲线就有曲率圆存在。

回过来看前面留的那个问题，“既然说曲线对直线的连续只能做到G1，那么对两直线做Blend G2有意义吗？”试着将曲线拉成曲面，右边是G1，左边是Blend G2。

会发现光顺度有些差别，原因是阶数存在差别，Blend G2多了一个控制点的缓冲。

所以对两直线做Blend G2在造型上是有意义的。

总的来说，对直线做G2 做出来的不是G2，只是在衔接处的光影会比较顺畅。

光影是一种感觉，因为曲面接近平面时，曲面也几乎变平面了，所以光影会比较缓和，其实G1也是很顺的。