向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示
定理8.向量组与其极大无关组等价.
推论 向量组的任意两个极大无关组等价
定理9 向量组 1, 2,L可, 由t
线性相关.1, 2 ,L , t
1线,性2,L表,示s,若t > s，则向量组
推论1(逆否命题)
1, 2,L , t 线性无关，且可由 1,2 ,L ,s 线性表示
线性代数
数学科学学院 陈建华
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线性方程组 习题课
• 向量 • 线性方程组 • 典型例题
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一、向量
1. 是 1,L 的,线s 性组合( 可由
线1,性L 表,示s )
d
k1, k2 ,L , ks , k11 k22 L kss
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
5.
a21
x1
a22
x2
L
a2n xn
0
有非零解
M
(只有零解)
1,2,L ,n
线性相关 (无)
am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
r<n
1
2
n
(r = n)
重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.
可否由 1 ,L线,性s表示—— 竖排行变换，放末列.
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2. 非齐次线性方程组解的结构
定理2 若 是0 非齐次线性方程组(1)的一个解, 是其导出组(2)
的全部解,则方程组(1)的全部解(通解,一般解)为
0 0 k11 k22 L knr nr
(k1,k2,…,kn-r为任意常数)
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定理5.向量组 1,2,L ,线s (s性相2)关
(线性无关)
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示)
定理6. 1,2,线L 性,无s 关， ,线1,性2 ,相L 关,s 可由 1,2,L唯,一s 线性表示.
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定理7. 向量组(I)可由(II) ，(II)可由(Ⅲ)线性表示
可表示为 1,2,L ,n
的线性组合
1
2
n
(组合系数就是方 程组的一个解)
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4.
1,2,L ,s
d
线性相关
k1, k2 ,L , ks 不全为0，
k11 k22 L kss O
1,2 ,L ,s 线性无关
d
k11 k22 L kss O
仅当k1=k2=…=ks=0时成立.
重要结论: 行变换不改变列向量间的线性关系
机动 目录 上页 理
定理1 设非齐次方程组Am×nX＝b，则 (1) r(A)≠r( A )，原方程组无解 (2) r(A)＝r( A )＝n，原方程组有唯一解 (3) r(A)＝r( A )< n，原方程组有无穷多组解
)．
（练习卷P23第二题第5题）
(A) 仅含一个非零解向量 (B) 含有两个线性无关的解向量
(C) 不存在
(D) 含有三个线性无关的解向量
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例3 (94考研)设向量组 1 (1, 1, 2, 4), 2 (0, 3,1, 2)
3 (3, 0, 7,14), 4 (1, 2, 2, 0), 5 (2,1, 5,10)
导出组
1)(1)的两解之差是其导出组的解 1, 2 1 2
2)(1)的一解与其导出组的一解之和仍是(1)的解
,
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解的结构定理
1.齐次线性方程组解的结构
定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作 齐次线性方程组的一个基础解系。 齐次线性方程组(2)当 r(A)＝n 时只不有存零在解, 基础解系 当r(A)＝r < n时，有： 定理3 对齐次线性方程组(2)，若r(A)＝r < n，则基础解系存在 ，且均含n-r个解。
n
齐次线性方程组 aij x j 0 i 有1,非2,L零,解n j 1 D0
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解的性质定理
1.齐次线性方程组解的性质
1) 两解之和仍是解 1,2 1 2
2) 常数乘以解仍是解 k
一般地，解的线性组合仍是解 k11 k22 L kss
2.非齐次线性方程组解的性质
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解的判定定理
定理2 设齐次方程组Am×nX＝O，r(A)＝r，则 (1) r＝n，原方程组有唯一零解 (2) r< n，原方程组有非零解(有无穷多组解)
推论1 当齐次线性方程组方程个数m<未知数个数n时，必有 非零解.
推论2 若齐次方程组An×nX＝O系数行列式|A|＝0，则必有非 零解.
t s
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推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等.
定理10 1,2 ,L ,s可由 1, 2,L线,性t表示
r(1,2 ,L ,s ) r(1, 2,L , t )
推论：等价的向量组秩相等. 定理11 矩阵A的行秩＝列秩＝秩
2. 任一 n 维向量 (a1, a2都,L是, aRn )n 的基本单位向量组的线性
组合:
a11 a2 2 L an n
3.
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L M
a2n xn
b2
有解
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 ,L ,s 是否线性相关—— 竖排行变换.
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定理1. n个n维向量线性相关 (线性无关)
其排成的行列式值为0 (不为0)
定理2.向量个数>向量维数，向量组线性相关.
定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关
定理4. 短无关，则长无关；长相关，则短相关.
三、典型问题剖析
例1 设A是m×n矩阵，则线性方程组AX=0只有零解的充要
条件是A 的（ ）．
（练习卷P23第二题第3题）
(A)行向量组线性无关 (B)行向量组线性相关
(C)列向量组线性，若无关 (D)列向量组线性相关
例2 设矩阵A的伴随矩阵不为零， 1,2,是3,非4 齐次线性方程组
AX＝b的互不相等的解，则对应的齐次方程组AX＝O的基础解系 (