山西省2005年专升本考试试题工科数学一．选择题（每小题3分，共30分） 1．设()11--=x x x f ，()=→x f x lim 1( ) A ．0 B 。

-1 C 。

1 D 。

不存在 2．设=→xxx πsin lim0( )A ．1B 。

πC 。

0D 。

∞3．设函数()()()321---=x x x x y ，则()='0y ( ) A ． -6 B 。

0 C 。

1 D 。

3 4. ()C e x dx x f x +=⎰22，则()=x f ( )A ． x xe 22B 。

x e x 222C 。

x xe 2D 。

()x xe x +122 5．()=⎰''dx x f x ( ) A ．()()c x f x +'+1 B 。

()c x f x +'221 C 。

()()c x f x f x +-' D 。

()c x f x +' 6．微分方程02=-'y y 的通解是( )A. x y 2sin =B. x e y 24=C. x ce y 2=D.3-=xcy 7．已知向量α→的方向与y 轴正方向一致，则=βcos ( )A ． 0B 。

1C 。

-1D 。

21 8．若y x e z 2=，则=∂∂xz( ) A ．y x xye 22 B 。

22x e x C 。

y x e 2D 。

y x xe 22 9．D 是由2x y =及x y =所围成，则⎰⎰=Ddxdy ( )A ．21B 。

61C 。

31D 。

61-10．下列级数收敛的是( )A ．∑∞=1ln 1n n B 。

∑∞=1341n n C 。

∑+∞=121n n n D 。

∑-∞=1121n n二．填空题（每小题3分，共15分）11．2lim e x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=a ( )12．=--→nn mm a x ax a x lim ( ) 13．微分方程065=+'+''y y y 的通解是( ) 14．幂级数∑•∞=13n nnn x 的收敛半径是( )15．已知平面0353:1=-+-kz y x π与0523:2=+++z y x π垂直，则=k ( )三．证明题（6分）16．设函数()x f 在[]1,0上有二阶导数，且()0>''x f ，求证不等式：()()()()1010f f f f '<-<'四．解答题（每小题7分，共49分）17．求函数()1ln +-=x x y 的单调下降区间。

18．⎰322ln e e xx dx19．求抛物线x y 22=与4-=x y 所围成的面积。

20．曲线通过原点，并且它在点()y x ,处的切线斜率等于y x +2，求曲线的方程21．设t y t x e z y x sin ,ln ,2===-，求dtdz22．某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱，问长，宽，高各取怎样的尺寸时，才能使材料最省。

23．计算⎰⎰+Dy xdx e 22，其中D 是环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x山西省2005年专升本考试试题工科数学参考答案及评分标准一．选择题（每小题3分，共30分）1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6。

C 7．B 8．A 9．B 10．B二．填空题（每小题3分，共15分）11，2 12。

nm a nm - 13。

x x e c e c y 3221--+= 14。

3 15。

6三．证明题（6分）16．证：因为()0>''x f ，所以()x f '是[]1,0上的增函数。

由拉格朗日中值定理知：()()()[]1,0,01∈'=-ξξf f f 所以：()()()()1010f f f f '<-<'四．解答题（每小题7分，共49分）。

17．解：1111+=+-='x x x y 令 01<+='x xy ， 得 ()0,1-∈x所以：函数()1ln +-=x x y 的单调下降区间为()0,1-18．解：=⎰322ln e e xx dx =⎰322ln ln e e x x d =23ln 1e e x -=61 19．解：⎩⎨⎧-==422x y x y 得交点为 ：()2,2-和()4,8 A=186422144222422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--y y y dy y y20．解：⎪⎩⎪⎨⎧=+==020x y yx dx dy由公式法得：()x ce x y ++-=12当0=x 时，0=y 得特解为：()12--=x e y x 21．解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-•=∂∂+∂∂=---t t e t e t e dt dy y z dt dx x z dx dz t t y x y x cos 21cos 21sin 2ln 22 22．解：设水箱长xm ，宽ym ，高m xy8则所用材料的面积：A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x xy xy x xy yxy 882882 令： 082,08222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=y x A x y A y x 得：22==y x 此时高为：2，根据实际此最小值一定存在，且只有一个驻点，所以长，宽，高都为2时材料最省23．解：()e e ed e d e d dx e Dy x-==⎰=⎰⎰=⎰⎰+42212221220221222ππρπρρϑρρρπ山西省2006年专升本考试试题工科数学一．选择题（每小题3分，共30分）1．设()x f 的定义域是[]1,0，则()()0>+a a x f 的定义域是( )A ．[]1,0B 。

[]0,1-C 。

[]a a --1,D 。

[]a a +1, 2．设=-→xxx x 2cos 1sin lim0( )A ．2B 。

21C 。

0D 。

∞ 3．设函数()()()()x x x x x f sin 211+-+=，则()='0f ( )A ． -2B 。

2C 。

0D 。

1 4．()C x x dx x f +=⎰cos ，则()=x f ( )A ．x x x cos sin +B 。

x x x cos sin +-C 。

x x sinD 。

x x x sin cos +-5．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sinx x xx x f α，若()x f 在点0=x 处连续，则α的取值范围是( )A ．()∞+∞-,B 。

[)∞+,0C 。

()∞+,0D 。

()∞+,16．微分方程04=-''y y 的通解是( )A. x C x C 4cos 4sin 21+B. x x e C e C 4241-+C. x C x C 2cos 2sin 21+D. x x e C e C 2221-+ 7．已知向量k j i 22-+=→α的方向余弦是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,31,32 B 。

⎪⎭⎫⎝⎛--32,31,32C 。

()2,1,2-D 。

()2,1,2-- 8．若()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000222222y x y x y x xy x f ，则()=0,0'y f ( )A ．0B 。

1C 。

1-D 。

不存在9．设()x f 是可微函数，L 是无重点的分段光滑的封闭曲线，则()()=+⎰+ydy xdx y x f 22( )A ．1B 。

21 C 。

0 D 。

1-10．下列级数收敛的是( )A ．∑∞=1)23(n n B 。

∑∞=2ln 1n n C 。

∑∞=1321n n D 。

()∑+∞=111n n n二．填空题（每小题3分，共15分）1．22lim e x k x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=k （ ）2．微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ ） 3．幂级数∑•∞=-1132n nnn n x 的收敛半径是（ ）4．已知平面0132:1=+-+z y x π与024:2=+-+z ky x π垂直，则=k （ ）5．D 是由3x y =和2x y =所围成，则=⎰⎰dxdy D（ ）三．证明题（6分）证明：当0>x 时，()x x x x <+<-1ln 22四．解答题（每小题7分，共49分）1．求函数x e x y -=的单调递增区间。

2．计算⎰-10dx e x3．求抛物线2x y =与2=+y x 所围成的面积。

4．曲线通过原点，并且它在点()y x ,处的切线斜率等于y x -2，求曲线的方程5．设x y y x arctan ln 22=+，求dxdy6．（1）某厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元和9元，生产甲产品x 件与生产乙产品y 件的总费用是()223301.032400y xy x y x +++++元，问两种产品的产量各多少时，能够取得最大利润。

（2）平面图型D 是由曲线x y =和直线2-=x y 及x 轴所围成，求此平面图型的面积和此平面图型饶x 轴旋转而成的旋转体体积7．证明：当20π<<x 时，126cos 23+-<x x x山西省2006年专升本考试试题工科数学参考答案及评分标准一．选择题1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.A8.A9.C 10.D 二．填空题1，1 2。

x x xe c e c y 2221--+= 3。

23 4。

-2 5。

121三．证明题证：令：()()()()()0,21ln ,0,1ln )(221≥+-+=≥+-=x x x x x f x x x x f则：()011≥+='x x x f ，()0122≥+='x x x f ，所以()()x f x f 11,单调递增又()()00021==f f ，所以()()0,011≥≥x f x f ，于是()x x x x <+<-1ln 22。

四．解答题1．令01≥-='x e y 得0≤x 所以函数x e x y -=的单调递增区间为(]0,∞-2．解：⎰-10dx ex=()1101042122----=+-=⎰e et dt te tt3．解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=22x y x y 得：()4,2-和()1,1, S=()2964224222122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰----y y y dx x x 4．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==020x y y x dx dy由公式法得：()x ce x y -+-=12 当0=x 时，0=y 得：2=c 故曲线方程为：()12-+=-x e y x5．解：两边同时对x 求导得：()2222221221211⎪⎭⎫⎝⎛+-'='+++x y x yy x y y x y x y x 得y x y x dx dy -+=6．解：（1）()()[]223301.032400910,y xy x y x y x y x L +++++-+=令：()()⎩⎨⎧=++-='=++-='001.006.039001.006.0210x y L y x L y x ， 即：⎩⎨⎧==80120y x 为驻点。