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2010年河南专升本高数真题+答案解析

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题 (每小题2 分,共60 分)1.设函数()f x 的定义域为区间(1,1]-,则函数(1)f x e -的定义域为( )A .[]2,2-B .(1,1]-C .(2,0]-D .(0,2]【答案】D【解析】由题意得,()f x 的定义域为(1,1]-,则在(1)f x e -中,1(1,1]x -∈-,即02x <≤,故选D .2.若()()f x x R ∈为奇函数,则下列函数为偶函数的是( ) A .[]331(),1,1y x x x -∈- B .3()tan ,(,)y xf x x x ππ=+∈-C .[]3sin (),1,1y x x f x x =-∈-D .[]25()sin ,,x y f x e x x ππ=∈-【答案】D【解析】()f x 为奇函数,对于选项D ,22()55()sin ()()sin x x f x e x f x e x ---=,故选D .3.当0x →时,21x e -是sin3x 的( ) A .低阶无穷小 B .高阶无穷小C .等价无穷小D .同阶非等价无穷小【答案】D【解析】200122lim lim sin333x x x e x x x →→-==,从而21x e -是sin3x 的同阶非等价无穷小,故选D .4.设函数2511sin ,0(),0xx x x f x e x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩,则0x =是()f x 的( )A .可去间断点B .跳跃间断点C .连续点D .第二类间断点【解析】2501lim sin 0x x x+→=,10lim 0x x e -→=,00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=,从而0x =是()f x 的可去间断点,故选A .5.下列方程在区间(0,1)内至少有一个实根的为( ) A .20x += B .sin 1x π=-C .32520x x +-=D .21arctan 0x x ++=【答案】C【解析】对于选项C ,构造函数32()52f x x x =+-,(0)20f =-<,(1)40f =>,由零点定理得,()0f x =在(0,1)上至少存在一个实根,故选C .6.函数()f x 在点0x x =处可导,且0()1f x '=-,则000()(3)lim2x f x f x h h→-+=( )A .23 B .23-C .32-D .32【答案】D 【解析】0000000()(3)(3)()333limlim ()23222x x f x f x h f x h f x f x h h →→-++-⎛⎫'=⋅-=-= ⎪⎝⎭,故选D .7.曲线ln y x x =平行于直线10x y -+=的切线方程是( ) A .1y x =- B .(1)y x =-+C .1y x =-+D .(ln 1)(1)y x x =+-【答案】A【解析】ln 1y x '=+,又直线10x y -+=的斜率1k =,令1y '=得1x =,0y =,从而与直线平行的切线方程为01y x -=-,即1y x =-,故选A .8.设函数212sin 5y x π=-,则y '=( )A .22cos51x π-- B .21x-C 21x-D .22cos 551x π-【解析】(2212sin 51y x xπ''⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭-B .9.若函数()f x 满足2()2sin df x x x dx =-,则()f x =( )A .2cos xB .2cos xC +C .2sin x C +D .2cos x C -+【答案】B【解析】2()2sin df x x x dx =-,则2222()(2sin )sin cos f x x x dx x dx x C =-=-=+⎰⎰,故选B . 10.sin(12)b xa d e x dx dx--=⎰( )A .sin(12)x e x --B .sin(12)x e x dx --C .sin(12)x e x C --+D .0【答案】D【解析】sin(12)bx a e x dx --⎰为一常数,从而sin(12)0b xa d e x dx dx--=⎰,故选D .11.若()()f x f x -=,在区间(0,)+∞内,()0f x '>,()0f x ''>,则()f x 在区间(,0)-∞内( ) A .()0,()0f x f x '''<< B .()0,()0f x f x '''>>C .()0,()0f x f x '''><D .()0,()0f x f x '''<>【答案】D【解析】()()f x f x -=,则()f x 为偶函数,又在(0,)+∞上,()0f x '>,()0f x ''>,所以在(,0)-∞上()0f x '<,()0f x ''>,故选D .12.若函数()f x 在区间(,)a b 内连续,在点0x x =处不可导,0(,)x a b ∈,则( ) A .0x 是()f x 的极大值点 B .0x 是()f x 的极小值点C .0x 不是()f x 的极值点D .0x 可能是()f x 的极值点【答案】D【解析】由判断极值的方法知,0x 可能是()f x 的极值点,故选D .13.曲线x y xe -=的拐点为( )A .1x =B .2x =C .222,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】(1)x y x e -'=-,(2)x y x e -''=-,令0y ''=,得2x =,22y e=.当2x >时,0y ''>,2x <,0y ''<,所以曲线的拐点为222,e ⎛⎫⎪⎝⎭,故选C .14.曲线2arctan 5xy x=( ) A .仅有水平渐近线 B .仅有垂直渐近线C .既有水平渐近线,又有垂直渐近线D .既无水平渐近线,又无垂直渐近线【答案】A 【解析】002arctan 22limlim 555x x x x x x →→==,所以曲线没有垂直渐近线;2arctan lim 05x xx→∞=,所以0y =为曲线的水平渐近线,故选A .15.若cos x 是()f x 的一个原函数,则()df x =⎰( )A .sin x C -+B .sin xC +C .cos x C -+D .cos x C +【答案】A【解析】令()cos F x x =,则()()sin f x F x x '==-,所以()(sin )sin df x d x x C =-=-+⎰⎰,故选A .16.设曲线()y f x =过点(0,1),且在该曲线上任意一点(,)x y 处切线的斜率为x x e +,则()f x =( )A .22x x e -B .22x x e +C .2x x e +D .2x x e -【答案】B【解析】由题意得xy x e '=+,则2()2xx x y x e dx e C =+=++⎰,又因为曲线过点(0,1),有0C =,从而2()2x x y f x e ==+,故选B .17. 24sin 1x xdx x ππ-=+⎰( )A .2B .0C .1D .1-【答案】B【解析】24sin 1x xx +为奇函数,积分区间关于原点对称,从而24sin 01x x dx xππ-=+⎰.18.设()f x 是连续函数,则20()x f t dt ⎰是( )A .()f x 的一个原函数B .()f x 的全体原函数C .22()xf x 的一个原函数D .22()xf x 的全体原函数【答案】C【解析】220()2()x f t dt xf x '⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰,由原函数的定义可知,它是22()xf x 的一个原函数,故选C .19.下列广义积分收敛的是( )A .1x+∞⎰B .2ln exdx x+∞⎰C .21ln edx x x+∞⎰D .21exdx x +∞+⎰【答案】C 【解析】22111ln 011ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=+=⎰⎰,故选C .20.微分方程422()0x y y x y '''+-=的阶数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】由微分方程的概念知,阶数为方程中的最高阶导数的阶数,故选B .21.已知向量{}5,,2x =-a 和{},6,4y =b 平行,则x 和y 的值分别为( )A .4,5-B .3,10--C .4,10--D .10,3--【答案】B【解析】向量a 与b 平行,所以5264x y -==,得3x =-,10y =-,故选B .22.平面1x y z ++=与平面2x y z +-=的位置关系是( )A .重合B .平行C .垂直D .相交但不垂直【答案】D【解析】两平面的法向量分别为1(1,1,1)=n ,2(1,1,1)=-n ,而111111=≠-,从而两平面不平行,又121⋅=n n ,从而两平面不垂直但相交,故选D .23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是( )A .221y z +=B .22z x y =+C .222z x y =+D .22z x y =-【答案】A【解析】由柱面方程的特点可知,221y z +=表示圆柱面,故选A .24.关于函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,下列表述错误的是( )A .(,)f x y 在点(0,0)处连续B .(0,0)0f =C .(0,0)0y f '=D .(,)f x y 在点(0,0)处不可微【答案】A【解析】令y kx =,则222222000lim lim (1)1x x y kx xy kx kx y k x k →→=→==+++.当k 取不同值时,极限值不同,因此2200limx y xyx y →→+不存在,所以在点(0,0)处不连续,故选A .25.设函数ln()x z x y y =-,则zy∂=∂( ) A .()x y x y -B .2ln()x x y y --C .ln()()x y xy y x y -+- D .2ln()()x x y xy y x y ---- 【答案】D 【解析】221ln()ln()(1)()z x x x x y xx y y y y x y y y x y ∂-=--+⋅⋅-=--∂--.26.累次积分222202(,)x x x x dx f x y dy --⎰写成另一种次序的积分是( )A .10(,)yydy f x y dx -⎰⎰B .222202(,)y y y y dy f x y dx ---⎰C .221111(,)y y dy f x y dx ----⎰D .22111111(,)y y dy f x y dx +----⎰⎰【答案】D【解析】由题意知,02x ≤≤,2222x x y x x -≤≤-11y -≤≤,221111y x y -≤-,所以交换积分次序后为22111111(,)y y dy f x y dx +----⎰⎰.27.设{}(,)2,2D x y x y =≤≤,则Ddxdy =⎰⎰( )A .2B .16C .12D .4【答案】B【解析】222216Ddxdy dx dy --==⎰⎰⎰⎰,故选B .28.若幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ,则幂级数20(2)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为( )A .(,)R RB .(2,2)R R -+C .(,)R R -D .(2,2)R R【答案】D【解析】令2(2)t x =-,则0n n n a t ∞=∑的收敛半径为R ,即R t R -<<,则2(2)x R -<,即22R x R <<D .29.下列级数绝对收敛的是( )A .1(1)nn n∞=-∑B .213(1)2nnn n ∞=-∑C .11(1)21nn n n ∞=+--∑D .21(1)21nn n ∞=--∑【答案】B【解析】对选项B ,21133(1)24nn nn n n ∞∞==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑,级数收敛,从而原级数绝对收敛,故选B .30.若幂级数0(3)n n n a x ∞=-∑在点1x =处发散,在点5x =收敛,则在点0x =,2x =,4x =,6x =中使该级数发散的点的个数有( )A .0 个B .1个C .2个D .3个【答案】C【解析】由幂级数发散、收敛性质及收敛区间的讨论可得,在这4个点中发散点的个数有两个,即0x =,6x =,故选C .二、填空题 (每空 2分,共 20分)31.设(32)f x -的定义域为(3,4]-,则()f x 的定义域为________. 【答案】[5,9)-【解析】(32)f x -的定义域为(3,4]-,即34x -<≤,所以5329x -≤-<,即()f x 的定义域为[5,9)-.32.极限lim (23)x x x x +-=________.【答案】52【解析】55lim (23)limlim2232311x x x x x x x x x x x+-===++-++-.33.设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--,则(4)()f x =________. 【答案】24【解析】(4)()4!24f x ==.34.设参数方程22131x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =,则22d ydx =________. 【答案】32【解析】632dydy t dt t dx dx dt===,22(3)322d dy d y t dt dx dx dx dt ⎛⎫ ⎪'⎝⎭===.35.(ln 1)x dx +=⎰________. 【答案】ln x x C +【解析】1(ln 1)ln ln ln x dx xdx dx x x x dx x x x C x+=+=-⋅+=+⎰⎰⎰⎰.36.点(3,2,1)-到平面10x y z ++-=的距离是________. 3【解析】321131113d +--===++.37.函数(1)x z y =+在点(1,1)处的全微分dz =________. 【答案】2ln 2dx dy + 【解析】(1)ln(1)x zy y x∂=++∂,1(1)x z x y y -∂=+∂,(1,1)(1,1)2ln 2z z dz dx dy dx dy xy ⎛⎫∂∂=+=+ ⎪∂∂⎝⎭.‘38.设L 为三个顶点分别为(0,0),(1,0)和(0,1)的三角形边界,L 的方向为逆时针方向,则2322()(3)Lxy y dx x y xy dy -+-=⎰________.【答案】0 【解析】223P xy y y ∂=-∂,223Qxy y x∂=-∂,P Q y x ∂∂=∂∂,由格林公式得,该曲线积分为0.39.已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =,则a =________. 【答案】1-【解析】将x y xe =代入微分方程得x x x x e xe axe e ++=,即1a =-.40.级数03!nn n ∞=∑的和为________.【答案】3e【解析】23012!3!!!n n xn x x x x e x n n ∞==++++++=∑,故303!nn e n ∞==∑.三、计算题 (每小题5 分,共45 分)41.求极限2040sin (1)sin lim 1cos x x x tdt e x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰. 【答案】32【解析】220044000sin sin (1)sin (1)sin lim lim lim 1cos 1cos x x x x x x x tdt tdt e x e x x x x x →→→⎡⎤--⎢⎥-=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230022sin 13lim lim 214222x x x x x x x x→→⋅=-=-=.42.设由方程22y e xy e -=确定的函数为()y y x =,求0x dy dx=.【答案】24e -【解析】方程两边同时关于x 求导,得220y e y y xy y ''⋅--⋅=,当0x =时,2y =,代入得 204x dy e dx-==.43.求不定积分21x xe +.32(1)213x x e e C ++ 【解析】令1x t e =+21x e t =-,2ln(1)x t =-,则221tdx dt t =-,于是 2222332(1)222(22)2(1)211331xx x x t t dt t dt t t C e e C t t e -=⋅=-=-+=++-+⎰⎰.44.求定积分220(2)x x x dx +-⎰.【答案】22π+【解析】22222000(2)221(1)(1)x x x dx xdx x x dx x d x -=+-=----⎰⎰⎰⎰令1t x =-,则122220111(1)(1)11122x d x t dt t dt ππ-----=-=--=-⋅⋅=-⎰⎰⎰,故220(2)22x x x dx π-=+⎰.45.求过点(1,2,5)-且与直线2133x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程.【答案】125315x y z --+==- 【解析】由题意得,两平面的法向量分别为1(2,1,1)=-n ,2(1,3,0)=-n ,所以该直线的方向向量为12211(3,1,5)130=⨯=-=--i j ks n n ,又直线过点(1,2,5)-,故该直线的方程为125315x y z --+==-.46.求函数22(,)328f x y x y xy x =+-+的极值. 【答案】24-【解析】228x f x y =-+,62y f y x =-,令00x y f f =⎧⎪⎨=⎪⎩,得驻点为62x y =-⎧⎨=-⎩,又2xx f =,2xy f =-,6yy f =,对于驻点(6,2)--,280B AC -=-<,20A =>, 故函数在点(6,2)--处取得极小值(6,2)24f --=-.47.将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数.【答案】011()(1)222n n n n f x x x ∞=⎛⎫⎡⎤=-+-<< ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 【解析】2311()21112x f x x x x x ==-+-+-, 其中01(1)(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑,00111(2)21222n n nn n x x x x ∞∞==⎛⎫==-<< ⎪-⎝⎭∑∑,故00011()(1)2(1)222nnnnn n n n n n f x x x x x ∞∞∞===⎛⎫⎡⎤=-+=-+-<< ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑∑.48.计算二重积分22Dx y d σ+,其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域.【答案】3π【解析】用极坐标计算,{}(,)03,02D r r θθπ=≤≤≤≤,于是232220323Dx y d d rdr d ππσθθπ+=⋅==⎰.49.求微分方程960y y y '''-+=的通解. 【答案】1312()x y C C x e =+(12,C C 是任意常数)【解析】对应的特征方程为29610r r -+=,特征根为1213r r ==,因此所给方程的通解为1312()x y C C x e =+(12,C C 是任意常数).四、应用题 (每小题8 分,共 16 分)50.要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器,问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省? 【答案】当2hr=时,用料最省 【解析】设该容器的高为h ,底面半径为r ,则该容器的容积2V r h π=,即2Vh r π=, 该带盖容器的用料222222V S r rh r r πππ=+=+,则224V S r rπ'=-, 令0S '=,解得唯一驻点32V r π=,故当32Vr πS 取值最小,此时 323322V h V V V r r r r ππππ===⋅=.51.平面图形D 由曲线2y x =直线2y x =-及x 轴所围成.求: (1)D 的面积;(2)D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积. 【答案】(1)56 (2)815π 【解析】(1)由题意可得,此平面区域D 如图所示,则1312200125(2)2236S y y dy y y y ⎡⎤⎡=-=--=⎢⎥⎣⎣⎦⎰. (2)平面D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积为124251322101118(2)245315x V x dx x dx x x x x πππππ⎛⎫=+-=+-+=⎪⎝⎭⎰⎰.五、证明题 (9 分)52.设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且(0)0f =,(1)2f =. 证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得()21f ξξ'=+.【解析】构造函数2()()F x f x x =-,由题意可知()F x 在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件,故在(0,1)内至少存在一点ξ,使得(1)(0)()10F F F ξ-'=-,代入得,()()21F f ξξξ''=-=,即()21f ξξ'=+.。

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