理图像清晰。在轨迹已知的情况下用自然坐
标系是方便的。
34
【例1】行星沿椭圆轨道运动，加速度指向一
焦点，定性分析由
M
到
N
速率的变化。
解：由
M
到
N
中
at
与
v反向，故速率减小。 N
v a
M
【例2】抛体运动的轨道最高点处的曲率半径。
解：最高点只有水平速度，此时重力加速度
沿轨迹法向，
an
ห้องสมุดไป่ตู้
v2
g
(v0cos)2
加速度：
a d dv td dv te t vd d e tt
可证明
det dt
v
en
et
v
en
O
a
a
dv dt
et
v2
en
— 曲率半径
33
切向加速度
dv at dt et
法向加速度
描述速率的变化
at
与
v同向加快，反向减慢。
v2
an en
描述速度方向的变化
自然坐标系最能反映所描述运动的特征，物
结合律 (A )() A
分配律
(AB)AB
()AAA
5
3. 标量积： A B AcB o ,sA 2A A
交换律
A B B A
分配律
A (B C ) A B A C
4. 矢量积：
AB
A B
右手定则
A B A sB in (0 π )
6
A B B A 不交换！
d(AB)dAdB
dt dt dt
d(A B )dA B A dB
dt dt
dt
d(A B )dA B A dB
dt dt
dt
9
d(A )dA dA
dt dt
dt
设 A AA ， A 是 A 方向的单位矢量
则有： dA dA (A )dAA AdA
dt dt dt dt
一个矢量随时间的变化包括 2 部分： 大小随时间的变化和方向随时间的变化。
r
增加方向
r
O
横向
e
：指向
增加方向
注意：单位矢量
er ,
e
固结在轨迹上不同位
置，但只是 的函数，与 r 无关。
由此易证
der
d
e
,
d e
d
er
41
位矢：
rrer
速度：v vre rve
e
er
r
O
d(rer )
dt
ddrt er rddetr
d drterrd de r ddt
R
dw
dt
4. 速度
v w
r
v d s R d Rw v w r (r R )
dt dt
drwr r在转动
dt
37
5. 加速度
引入自然坐标系
et ,
en，
显然
et ,
en
是
的函数。
当 0 时：
et
(
)
et
(
)
en
(
O
)en (
)
e t e t
et et et // en
31
§1.5 自然坐标系、圆周运动
一. 自然坐标系
坐标：路程 s(t)
坐标方向：
切向
et
：指向轨迹切向
s
P1
et1
1
en1
O1
en22O2P2
et
2
法向 en：指向轨迹曲线的曲率圆圆心
注意：单位矢量
et , en
固结在轨迹上不同位
置，随位置（或时间）是变化的！
32
速度： vvet,
v ds dt
AA0
A (B C ) A B A C
i j k
A B Ax Ay Az
z
Bx By Bz
i ( AyBz Az By )
x
j(
Az
Bx
Ax Bz
)
k( AxBy AyBx )
y
7
2 个重要公式：
A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
en
v
a· t
a
an
OR
39
6. 角量与线量的关系（牢记，刚体要用）
vRw
线量
at
dv dt
R
角量
an
v2
R
Rw2
【思考】
a1
a2
O
a4
v
a3
左图中分别是什么情形？
a4
情形是否存在？
40
§1.6 平面极坐标系
坐标：r, （逆时针为正）
e
er
坐标方向：
径向
er
：指向
直角坐标系中运动的描述
特征：坐标架单位矢量
i,
j,k
不随时间变，
各分量运动的描述具有独立性。
r ( t) x ( t) i y ( t) j z ( t) k
d r d x i d y j d zk
d r (x d )2 (y d )2 (z d )2
ds(d x)2(d y)2(d z)2
10
第一章 质点运动学
11
第一章 质点运动学
§1.1 参考系 △§1.2 质点运动函数 △§1.3 位移、速度、加速度 △§1.4 匀加速运动
§1.5 自然坐标系、圆周运动 §1.6 平面极坐标系 §1.7 相对运动 注：打△ 的为自学或略讲内容，以后相同
12
§1.1 参考系
一. 物体的平动与转动 物体平动：任 2 点连线在运动中保持平行。
Ax Ay Az
A(BC) Bx By Bz Cx Cy Cz
A
C
B
A(BC)
等于以
A, B,C
为边的平行六面
体的体积。 A,B,C共面或其中任意 2 个平行则：
A(BC)0 8
A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
（验证分量式成立即可）
5. 矢量微分：
ds
dr
dt d t d t
26
加速度：质点速度对时间的变化率。
P1 v (t)
P2
r(t)
r (t Δt)
v(t Δt)
v(t)
Δv v(t Δt)
O
加速度：
a l
i
v m
t0 t
dv dt
d2 dt
r
2
r
加速度方向： v变化方向
加速度大小： a a dv d v
dt d t
sin
d
dt
h r2
dr dt
v rd d tr(r2s hin d d r t)c si on v 0 s
v vr2v2svi0ncvo0s 44
§1.7 相对运动
在不同参考系中观察同一物体的运动，它们 之间的相互关系如何？
静止参考系：相对观察者静止的参考系 S。
运动参考系：相对观察者运动的参考系 S 。
飞船 — 平动参考系 S
y
S
y
y
S t1
S t2 O x
O
xO
y
S t3
x
O x
20
转动的圆盘，考虑其整体的转动
圆盘 — 转动参考系 S
y
y
S
S
w
w
O
x
O
x
21
转动的圆盘，考虑其上“一点”的运动
“一点” — 平动参考系 S
y
y
S
w
y t1
S
S
y
w
t2
S
O x
O x
O
x
O
x
22
△§1.2 质点运动函数
△§1.3 位移、速度、加速度
位移：质点在一段时间内位置的改变 r。
P1
r(t )
Δr
P2 轨迹
r (t Δt)
O
（固定原点）
大小
r P1P2
r r ( t t) r ( t)
方向 P1 P2
24
路程：质点实际运动轨迹的长度 s 。
P1 s
r (t )
Δr
P2
r (t Δt)
27
运动学的两类问题：
r (t) v (t) a (t) 微分
r0
v0
积分
• 矢量描述便于一般性陈述，普遍、简练。
• 定量计算需选用坐标系 直角坐标系 — 适合 a为常量时，如抛体； 平面极坐标系 — 适合a指向定点时，如有
心力场中的行星运动；
自然坐标系 — 适合轨迹确定，如圆周运动。 28
dr dt
er
r
d
dt
e
42
径向速度：
vr
vrer
dr dt
er
横向速度：
v
ve
rddt e
两个正交分运动从 描述上彼此不独立！
【例】如图示，绞车 v0
以恒定速率v0 收绳， 岸 h
绳
求：船的速率v
船
43
如图建立极坐标系
vr
dr dt
v0
由几何关系： coshr
v0 O
h
r
e
er
两端微分得：
绝对运动：物体相对静止参考系 S 的运动。
相对运动：物体相对运动参考系 S 的运动。 牵连运动：运动参考系 S 相对静止参考系