第2讲整式与因式分解考点一、整数指数幂的运算【例1】 1．已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（）A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．2．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n= ．方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．举一反三1．若a x=2，a y=3，则a2x+y= ．2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．考点二、整式的运算【例2】 1．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．2．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a=4b方法总结对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用举一反三1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b= ；a2+b2= ．2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2考点三、乘法公式【例3】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A ．（x+a ）（x ﹣a ）B ．（a+b ）（﹣a ﹣b ）C ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ）D ．（b+m ）（m ﹣b ）2．若m 为正实数，且m ﹣=3，则m 2﹣= ．方法总结 本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤． 举一反三 1．填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ； （a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ； （a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+an ﹣2b+…+abn ﹣2+bn ﹣1）= （其中n 为正整数，且n ≥2）．2．如果a+b+，那么a+2b ﹣3c= ．3．已知（2008﹣a ）2+（2007﹣a ）2=1，则（2008﹣a ）•（2007﹣a ）= ． 考点四、因式分解【例4】 分解因式：（1）20a 3x ﹣45ay 2x （2）1﹣9x 2（3）4x 2﹣12x+9（4）4x 2y 2﹣4xy+1 （5）p 2﹣5p ﹣36方法总结 因式分解的一般步骤：(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 举一反三 分解因式（1） y 2﹣7y+12（2）3﹣6x+3x2（3）﹣a+2a 2﹣a 3（4）m 3﹣m 2﹣20m一、选择题1．下列计算正确的是( )A. 23+24=27B. 23−24=2-1C. 23×24=27D. 23÷24=212．下列各式变形中，正确的是（ ） A ．x 2•x 3=x 6B ．=|x| C ．（x 2﹣）÷x=x ﹣1D ．x 2﹣x+1=（x ﹣）2+3．23(2)a a -=g（ ） A.312a - B. 36a - C. 312a D. 26a4．下列计算正确的是 （ ）A. 523m m m =+B. 623m m m =⋅ C. 1)1)(1(2-=+-m m m D. 12)1(24-=--m m 5．下列运算正确的是（ ）A ．2332=-B ．523a a a =⋅C ．326a a a =÷ D ．()63262a a -=-6．在下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．()()22x y y x x y ---+=--B ．()413222--=--x x xC ．111x x-=- D ．()x y y x -=-1- 7．下列计算正确的是 （ ）A. 632a a a =⨯ B.222)(b a b a +=+C. 22))((b a b a b a -=-+D.532)(a a = 8．下列各式计算正确的是（ ）A.236x x x ⋅=B.2235x x x +=C.()326x x = D.623x x x ÷=9．分解因式1224+-a a 的结果是 （ ）A.22)1(+aB.22)1(-aC.)2(22-a aD.22)1()1(-+a a10．下列因式分解正确的是( )A ．222()a b a b -=-B ．222168(4)a ab b a b -+=-C ．222()a ab b a b ++=+D ．22()x y xy xy xy x y ++=+ 11．下列各等式一定成立的是（ ）A ．22)(a a -=B ．33)(a a -= C ．22a a -=- D ．33a a =12．下列运算正确的是（ ） A ．（）3=B ．3a 3•2a 2=6a 6C ．4a 6÷2a 2=2a3D ．（3a 2）3=27a 613．下列运算中，计算正确的是（ ）A ．a 3•a 6=a 9B ．（a 2）3=a 5C ．4a 3﹣2a 2=2 D ．（3a ）2=6a 214．下面计算正确的是（ ） A ．a 2+a 2=a 4B ．（﹣a 2）3=（﹣a ）6C ．[（﹣a ）2]3=a 6D ．（a 2）3÷a 2=a 315．下列计算正确的是（ ）A ．a 3+a 4=a 7B ．a 3﹣a 4=a﹣1C ．a 3•a 4=a7D ．a 3÷a 4=a16．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论： ①若a@b=0，则a=0或b=0 ②a@（b+c ）=a@b+a@c③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大． 其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 二、填空题1．若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 （写出一个即可）． 2.分解因式：m 3n −4mn= ．3．在实数范围内分解因式：4424+-x x = . 4．因式分解：a 3b ﹣ab 3= ． 5．分解因式：9a 2﹣b 2= ． 6．分解因式：2a 2﹣4a+2= ． 三、解答题1．先化简，再求值：2)2()1)(1(++-+a a a ，其中41=a .1．要使二次三项式x 2﹣2x+m 在整数范围内能进行因式分解，那么整数m 的值可取（ ） A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．有无数个2．若多项式x 4+mx 3+nx ﹣16含有因式（x ﹣2）和（x ﹣1），则mn 的值是（ ） A ．100 B ．0C ．﹣100D ．503．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（ ） A ．1.1111111×1016B ．1.1111111×1027C ．1.111111×1056D ．1.1111111×10174．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）A ．（3﹣x ）（3+x ）=9﹣x 2B ．（y+1）（y ﹣3）=﹣（3﹣y ）（y+1）C ．4yz ﹣2y 2z+z=2y （2z ﹣yz ）+zD ．﹣8x 2+8x ﹣2=﹣2（2x ﹣1）25．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形 C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0 B．1 C．2 D．37．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ．8．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9= ．9．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．10．若，则= ．11．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：，，．12．若m2﹣5m+1=0，则= ．13．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy﹣1，下面给出关于这种运算的几种结论：①（2@3）@（4）=19；②x@y=y@x；③若x@x=0，则x﹣1=0；④若x@y=0，则（xy）@（xy）=0，其中正确结论的序号是．（在横线上填上你认为所有正确的序号）14. 因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn（2）m2（m+1）﹣（m+1）（3）4x2y+12xy+9y（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣1515. 已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．16.阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．答案：【例1】 1． D2．举一反三1．122．y=4（x+1）2+1考点二、整式的运算【例2】 1． 12． B举一反三1． 5 ； 62． C考点三、乘法公式【例3】 1． B2．3．举一反三1．填空：（a﹣b）（a+b）= a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）= a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a4﹣b4．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= a n﹣b n（其中n为正整数，且n≥2）．2．0解：原等式可变形为：a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5（a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5=0（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|=0（﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|=0；即：﹣2=0，﹣1=0，﹣1=0，∴=2，=1，=1，∴a﹣2=4，b+1=1，c﹣1=1，解得：a=6，b=0，c=2；∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0．3．0解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．考点四、因式分解【例4】解：（1）原式=5ax（4a2﹣9y2）=5ax（2a+3y）（2a﹣3y）；（2）原式=（1+3x）（1﹣3x）；（3）原式=（2x）2﹣12x+9=（2x﹣3）2；（4）原式=（2xy﹣1）2；（5）原式=（p+4）（p﹣9）；举一反三解：（1）原式=（y﹣3）（y﹣4）；（2）原式=3（x2﹣2x+1）=3（x﹣1）2；（3）原式=﹣a（a2﹣2a+1）=﹣a（a﹣1）2；（4）原式=m（m2﹣m﹣20）=m（m+4）（m﹣5）．一、选择题1． C2． B3． C4． D5． B6． B7． C8． C9． A10．B11．A12．D13．A14．C15．C16．C解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．二、填空题1．﹣12.m n(m-2)(m+2) 3． 22)2()2(+-x x 4．ab （a+b ）（a ﹣b ） 5．（3a+b ）（3a ﹣b ） 6． 2（a ﹣1）2三、解答题 1．解：原式＝ 4 =-求得值为61．D解：设x 2﹣2x+m=（x+a ）（x+b ），∵x 2﹣2x+m 在整数范围内能进行因式分解， ∴a+b=﹣2，ab=m ，∵a+b=﹣2有无数对整数解， ∴整数m 的值可取无数个． 故选D ． 2．C解：设x 4+mx 3+nx ﹣16=（x ﹣1）（x ﹣2）（x 2+ax+b ），则x 4+mx 3+nx ﹣16=x 4+（a ﹣3）x 3+（b ﹣3a+2）x 2+（2a ﹣3b ）x+2b ．比较系数得：，解得，所以mn=﹣5×20=﹣100． 故选：C ． 3． D4． D5．B解：∵2a 4+2b 4+c 4=2a 2c 2+2b 2c 2，∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，∴c=a，c=b，∴a=b，且a2+b2=c2．∴△ABC为等腰直角三角形．6．D解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．7． 6 ， 18．（x﹣y+3）（x+y﹣3）9．解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b=ab+a﹣ab+ b=（a+b），∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，∴原式=．10． 6解：∵，∴+（b+1）2=0，∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，∴a+=3，∴（a+）2=32，∴a2+=7；b=﹣1．∴=7﹣1=6．11．4x ，﹣4x ，12．23解：∵m2﹣5m+1=0，∴m﹣5+=0，即m+=5，∴（m+）2=25，∴m2+2+=25，∴m2+=23．13．①②④解：根据题意得：①（2@3）@（4）=5@4=20﹣1=19，本选项正确；②x@y=xy﹣1，y@x=yx﹣1，故x@y=y@x，本选项正确；③若x@x=x2﹣1=0，则x﹣1=0或x+1=0，本选项错误；④若x@y=xy﹣1=0，则（xy）@（xy）=x2y2﹣1=（xy+1）（xy﹣1）=0，本选项正确，则其中正确的结论序号有①②④．14. 因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn=2mn（2m﹣4n﹣1）（2）m2（m+1）﹣（m+1）=（m+1）2（m﹣1）（3）4x2y+12xy+9y=y（2x+3）2（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15=（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．15.解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，∴b﹣c=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵a=4，b=3，∴b=c=3，∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．16.解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．。