x
P
y
记为：R(θ)
13
6.2 二维几何变换
放缩变换(scaling transformation)
将点P(x, y)在x方向, y方向分别放缩 sx 和 sy 倍，得到点
P´(x‫׳‬, y‫ )׳‬ x' sx x
y'
sy
y
P S • P
S
sx
0
0
s
y
记为：S(sx, sy)
便于变换合成 连续变换时，可以先得到变换的矩阵
便于硬件实现
19
6.3 齐次坐标
变换的性质
平移和旋转变换具有可加性
T (t x2 , t y2 ) T (t x1 , t y1 ) T (t x1 t x2 , t y1 t y2 )
以坐标原点为放缩参照（基准）点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离
14
6.2 二维几何变换
利用平矩移阵变计换算：变P换 P后的T (坐tx 标, t y时) ，平移、旋转和放缩变 换分别旋为转：变换：P' R( ) P
放缩变换：P' S(sx , sy ) P
运算不统一，如何统一运算？
10
6.2 二维几何变换
平移变换 (translation transformation)
将点P(x, y)在x轴方向、y轴方向分别平移距离tx，ty，得 到点P´(x‫׳‬, y‫)׳‬，则
x x tx
y
y ty
矩阵表示： P P T
P
x y
x
P
y
T
tx
t
y
记为：T(tx , ty)
n
cij ail blj l 1
性质：结合律和分配律（不满足交换律）
9
6.1 数学基础
矩阵（续）
矩阵的转置
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
a11 a21 am1
AT
a12
a22
a
m
2
a1n
a2n
amn
矩阵的逆
n阶方阵A是可逆的，若存在另一个n阶方阵B，使得 AB＝BA＝In，称B是A的逆阵，记为B＝A－1
U •V V •U
U •V 0 U V
U •U 0 U 0
5
6.1 数学基础
矢量的长度
U
U •U
ux2
u
2 y
uz2
单位矢量 U 1
矢量间的夹角 cos U •V
U •V
矢量的叉积
i U V ux
j uy
k uz
uyvz uz v x
uzv y uxvz
v x v y vz uxv y uyv x
15
6.3 齐次坐标
为什么需要齐次坐标?
对多个点计算多次不同的变换时，分别利用矩阵计算各 变换导致计算量大
运算表示形式不统一
平移为“＋” 旋转和放缩为“·”
统一运算形式后，可以先合成变换运算的矩阵，再作用 于图形对象
16
6.3 齐次坐标
定义
Homogeneous Coordinate （x，y）点对应的齐次坐标定义为
第6章 图形几何变换
计算机图形学
计通学院 计算机科学系
1
本章目标
学习如何使图形运动
平移变换、旋转变换和放缩
学会复杂变换的分解与合成 学会使用OpenGL的几何变换函数
2
主要内容
数学基础 二维几何变换 齐次坐标 复合变换 其它变换 三维几何变换 图形对象的几何变换 OpenGL的几何变换函数
旋转变换(续）
x' r cos( )
y'
r
sin(
)
x' r cos cos r sin sin
y'
r
sin
cos
r
cos
sin
x' x cos y sin
y'
x
sin
y cos
x r cos
y
r
sin
矩阵表示为： P R • P
cos R sin
sin
cos
右手法则
6
6.1 数学基础
矩阵（Matrix)
m×n 阶矩阵
a11
A
a21
a12 a1n
a22
a2
n
am1
am2
amn
n阶方阵（m＝n）
单位矩阵 n阶方阵，对角线元素为1，
1
In
0
0 1
0 0
其它元素为0
0 0 1
7
6.1 数学基础
矩阵（续）
行向量与列向量
( xh , yh , h) xh hx, yh hy, h 0
（x，y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
xh yh
hx hy
标准齐次坐标（x，y，1） zh h
h＝0表示无穷远点
17
6.3 齐次坐标
二维变换的矩阵表示
平移变换
x 1 0
y
0
1
1 0 0
t t
x y
x y
记为
T
(t
x
,
t
y
)
x y
1 1
1
旋转变换
x cos
y
sin
1 0
sin cos
0
0 x
x
0
y
记为
R(
)
y
1 1
1
18
齐次坐标
放缩变换
x sx
y
0
0 sy
0 x
x
0
y
记为
S
(
s
x
,
s
y
)
y
1 0 0 11
1
变换具有统一表示形式的优点
11
6.2 二维几何变换
旋转变换(rotation transformation)
如
点P(x, y)的极坐标表示
（r为P 到原点的距离）
x r cos
y
r
sin
绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度θ （逆时
针为正，顺时针为负）
x' r cos( )
y'
r
sin(
)
12
6.2 二维几何变换
a1n b1n
a2n
b2n
am1 bm1
am2 bm2
amn
bmn
性质：结合律和交换律
8
6.1 数学基础
矩阵（续）
矩阵的数乘
ka11 ka12 ka1n
kA
ka21
ka22
ka2n
kam1
kam 2
kamn
矩阵的乘法
C (cij )m p Amn Bn p
3
6.1 数学基础
矢量（vector）
连接两个点的有向线段。又称向量 行向量和列向量两种表示
ux
U
u
y
uz
S s s s
x
y
z
矢量和
ux vx
U
V
u
y
v
y
uz vz
4
6.1 数学基础
矢量的数乘
kux
k
•U
ku
y
kuz
矢量的点积
运算 性质
U •V uxvx uyv y uzvz
当m＝1时，A退化为行向量[a11, a12, …, a1n] 当n＝1时， A退化为列向量[a11, a21, …, am1]T
矩阵的加法
A=(aij)m×n，B＝(bij) m×n
A与B的和记为A＋B
a11 b11
A
B
(aij
bij )mn
a21
b21
a12 b12
a22 b22