导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者()()()x x f x x f x F --+=00。

其中0x 为函数()x f y =的极值点。

⑵利用对数平均不等式。

2ln ln ab ba b a b a +<--<。

⑶变换主元等方法。

任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。

1．设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性;（2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-可知2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-'=-+-==因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>，(x)g =222(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x'''=-+-=+>∴=则为增函数。

只需证：12x x ()()02f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a-+->⇔-+->++（*） 又2222111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：1212212ln ln 1(x x a)0x x x x a --++-=-，把1212212ln ln 1(x x a)x x a x x -+-=-代入（*）式，即证：121212ln ln 20x x x x x x --+>+-化为：121112222(1)2(1)ln 0,=,ln 011x x x x t t t x x x t x ---+>-+>++令即证： ()()2222(1)41(t 1)(t)ln (01),(t)0111t t t t t t t tϕϕ---'=-+<<=-+=<+++令则所以(t)ϕ为减函数，(t)(1)0ϕϕ<= 综上得：原不等式得证。

2.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是函数2()(12)ln f x ax a x x =+--图象C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ,试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？解:由题意可得21111(12)ln y ax a x x =+--,22222(12)ln y ax a x x =+--, 且12x x ≠,故直线AB 的斜率2121212121ln ln ()12y y x x k a x x a x x x x --==++----.由题意可知曲线C 在点N 处的切线的斜率为12'()2x x f +,因此我们只需判断直线AB 的斜率k 与12'()2x x f +是否相等即可. 又由于1'()212f x ax a x=+--,因此1212122'()()122x x f a x x a x x +=++--+. 令函数()'()g x k f x =-,则2112212ln ln ()x x g x x x x x -=-+-2121212112()[(ln ln )]x x x x x x x x -=⋅---+221221112(1)1[ln ]1x x x x x x x x -=⋅--+.不妨令120x x <<,则211x t x =>,2(1)()ln 1t h t t t -=-+, 则由22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++可知()t ϕ在(1,)+∞上递增. 故()(1)0h t h >=.从而可得()0h x ≠,即直线AB 的斜率k 与12'()2x x f +不相等,也即曲线C 在点N 处的切线与直线AB 不平行.任务二、完成下面练习，体验极值点偏移问题的解决方法在解题中的运用。

3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>． 解:(1)由(1)(2)'()2(2)a x x a f x x a x x+-=---=,且0x >可知: 当0a ≤时,'()0f x >,此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时,若02ax <<,则'()0f x <；若2a x >,则'()0f x >；此时,函数()f x 在(0,)2a 上单调递减；在(,)2a+∞上单调递增.(2)由12,x x 12(0)x x <<是方程()f x c =的两个不等实根可知: 2111(2)ln x a x a x c ---=,2222(2)ln x a x a x c ---=. 两式作差可得12121212()()(2)()(ln ln )0x x x x a x x a x x -+-----=.故212121ln ln 2x x x x a a x x -+=-+⋅-.由'()2(2)af x x a x=---可得1212122'()(2)2x x a f x x a x x +=+---+ 212121ln ln 2x x a a x x x x -=⋅--+212121212()[(ln ln )]a x x x x x x x x -=⋅---+221221112(1)[ln ]1x a x x x x x x x -=⋅--+. 由120x x <<可知211x t x =>,因此由2(1)()ln 1t g t t t -=-+, 则由22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=>++可知()g t 在(1,)+∞上递增. 故()(1)0g t g >=,从而可知12()02x x f +'>．4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .证明:由21,x x )(21x x <是函数2ln 2)(x mx x x f -+=的两个零点可知 21112ln =0x mx x +-,22222ln =0x mx x +-,两式作差可得121212122(ln ln )()()()0x x m x x x x x x -+---+=.故211221ln ln 2x x x x m x x -+=+⋅-.由2'()2f x m x x =+-,及1202x xx +=可得 12012124'()'()()2x x f x f m x x x x +==+-++2121214ln ln 2x x x x x x -=-⋅+-2121212122()[(ln ln )]x x x x x x x x -=-⋅---+221221112(1)2[ln ]1x x x x x x x x -=-⋅--+. 由120x x <<可知211x t x =>,因此由2(1)()ln 1t g t t t -=-+, 则由22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=>++可知()g t 在(1,)+∞上递增. 故()(1)0g t g >=,从而可知0)('0<x f ．5.（2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ， 当0a =时，()(2)0xf x x e =-=，得2x =，只有一个零点，不合题意；当0a ≠时，()(1)[2]xf x x e a '=-+当0a >时，由()0f x '=得，1x =，由()0f x '>得，1x >，由()0f x '<得，1x <， 故，1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，所以min ()(1)0f x f e ==-< 又(2)0f a =>，故在区间(1,2)内存在一个零点2x ，即212x << 由21lim (2)limlim 0,xx xx x x x x e e e --→-∞→-∞→-∞--===-又2(1)0a x ->，所以，()f x 在区间 (,1)-∞存在唯一零点1x ，即11x <， 故0a >时，()f x 存在两个零点；当0a <时，由()0f x '=得，1ln(2)x x a ==-或， 若ln(2)1a -=，即2ea =-时，()0f x '≥，故()f x 在R 上单调递增，与题意不符若ln(2)1a ->，即02ea -<<时，易证()=(1)0f x f e =-<极大值故()f x 在R 上只有一 个零点，若ln(2)1a -<，即2ea <-时，易证()=(ln(2)f x f a -极大值2(ln (2)4ln(2)5)0a a a =---+<，故()f x 在R 上只有一个零点综上述，0a >（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性证明 由（Ⅰ）知，0a >且1212x x <<<令2()()(2)(2),1xxh x f x f x x e xe x -=--=-+>，则2(1)2(1)(e 1)()x x x h x e ----'= 因为1x >，所以2(1)10,10x x e-->->，所以()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞内单调递增,所以()(1)0h x h >=，即()(2)f x f x >-，所以22()(2)f x f x >-，所以12()(2)f x f x >-，因为121,21x x <-<，()f x 在区间(,1)-∞内单调递减，所以122x x <-，即122x x +<解法二、利用对数平均不等式证明由（Ⅰ）知，0a >，又(0)2f a =- 所以， 当02a <≤时，10x ≤且212x <<，故122x x +<当2a >时，12012x x <<<<，又因为12122212(2)(2)(1)(1)x x x e x e a x x --=-=--- 即12122212(2)(2)(1)(1)x x x e x e x x --=--所以111222ln(2)2ln(1)ln(2)2ln(1)x x x x x x -+--=-+--所以12122112ln(2)ln(2)2(ln(1)ln(1))(2)(2)x x x x x x x x -------=-=---所以1212121212ln(1)ln(1)(2)(2)412ln(2)ln(2)ln(2)ln(2)2x x x x x x x x x x ---------=<------所以1212122ln(1)ln(1)22ln(2)ln(2)x x x x x x +----<--- ①下面用反证法证明不等式①成立因为12012x x <<<<，所以12220x x ->->，所以12ln(2)ln(2)0x x ---> 假设122x x +≥，当122x x +=，1212122ln(1)ln(1)02=02ln(2)ln(2)x x x x x x +----=---且,与①矛盾； 当122x x +>时1212122ln(1)ln(1)02<02ln(2)ln(2)x x x x x x +---->---且,与①矛盾，故假设不成立 所以122x x +<6.设函数()ln f x x ax =-有两个零点21,x x ,求证:212x x e >. 证明:由21,x x )(21x x <是函数()ln f x x ax =-的两个零点可得: 11ln =0x ax -,22ln =0x ax -,两式相减可得1212ln ln ()0x x a x x ---=2121ln ln x x a x x -⇒=-.两式相加可得1212ln ln ()0x x a x x +-+=2121ln ln x x a x x +⇒=+.故有21212121ln ln ln ln x x x x a x x x x -+==-+.由于212x x e >12ln ln 2x x ⇔+>.因此只需证明2121212121ln ln ln ln 2x x x x x x x x x x -+=>-++即可.而212121ln ln 2x x x x x x ->-+212121ln ln 2x x x x x x -⇔->⋅+2212111ln 201x x x x x x -⇔-⋅>+ 由120x x <<可知211x t x =>,因此由2(1)()ln 1t g t t t -=-+, 则由22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=>++可知()g t 在(1,)+∞上递增.故()(1)0g t g >=,从而原命题得证.。