第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2430A x x x =-+<，{}2|,R B y y x x ==∈，则B A ⋂= A ．∅ B ．[)()0,13,+∞U C ．A D ．B 【答案】C 【解析】试题分析：{}31<<=x x A ，{}0≥=y y B ，两个集合的交集()A B A ==31，,故选C. 考点：集合的运算 2.若复数a iia 为纯虚数，则实数+-1的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－1 【答案】C考点：复数的代数运算3.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，则5S = A ．52-B ．5-C ．5D ．52【答案】D 【解析】试题分析：根据韦达定理可得：142=+a a ，()()25252542515=+=+=a a a a S ，故选D. 考点：等差数列的性质【方法点睛】本题考查了等差数列的性质以及和的问题，重点说说等差数列求和公式的使用问题，（1）()d n n na S n 211-+=，通过设等差数列的基本量首项1a 和公差d ，联立方程组，求解数列，（2）或是变形为n d a n d S n ⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=2212，当0≠d 时，将数列的前n 项和看成没有常数项的二次函数，*N n ∈,可以结合二次函数的图像以及对称性的问题，考察数列的性质问题，（3）()21n n a a n S +=，这个公式使用的时候，经常结合等差数列的性质整体求n a a +1，比如q p n m +=+时，q p n m a a a a +=+，p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ ，这样就整体求得n a a +1,再求和就比较简单了.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于10分钟的概率为A ．C 【答案】A考点：几何概型 5.函数cos(4)3y x π=+的图象的相邻两个对称中心间的距离为A ．8πB ．4πC ．2πD.．π【答案】B 【解析】试题分析：相邻两个对称中心间的距离为半个周期，所以42π==T d ,故选B. 考点：三角函数的性质6.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．34π B ．π3C ．π23 D ．π【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，几何体为正方体去掉红色线表示的几何体的剩下的部分，但此四面体的外接球和正方体的外接球是同一个外接球，并且正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长为外接球的直径，32=R ,所以πππ2383334343===R V ,故选C.考点：1.三视图；2.球与几何体. 7.函数2()ln f x x e x =-的零点个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A小值，而()02ln 22ln 12222ln 22222>=--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e e e e ef ，所以函数与x 轴没有交点，即函数零点的个数为0，故选A. 考点：函数的零点8.设椭圆12222=+ny m x ，双曲线12222=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则 A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】B 【解析】 试题分析：m n m e 221-=，m n m e 222+=，所以114424421<-=-=mn m n m e e ，故选B. 考点：椭圆与双曲线的几何性质 9.程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2016小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入 A ．10k ≤ ? B ．10k ≥ ? C ．9k ≤ ? D ．9k ≥? 【答案】C考点：循环结构10.已知函数的定义域为)(x f ),2[+∞-，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示. 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是 A ．2 B ．4C ．5D ．8【答案】B考点：1.导数与函数的单调性；2.线性规划.11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ) A ．65π B ．32π C ．π D ．67π【答案】A考点：立体几何与平面几何的交汇【思路点睛】本题考查了立体几何中的截面问题，属于中档题型，以A 为球心，2为半径做圆，正方体的棱长为3，23<，所以球与正方体的六个面都相交，我们知道平面截球，若过球心，那么截面就是大圆，若不过球心，截面就是小圆，所以如图所示的两段圆弧，一段是过球心的大圆弧，另一段是不过球心的小圆弧，大圆弧EF 所对的圆心角是EAF ∠,因为⊥AB 平面1BC ,所以小圆弧FG 所对的圆心角是FBG ∠,这样再根据各自圆的半径，根据弧长公式r l ⋅=α求得弧长.12.平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()x x x a a f =-⋅确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()x y x y f f ⋅=⋅对任意x 、A ∈y 恒成立，则a 的坐标可能是A ．1)2-B ．C ．31(,)44D ．1(2- 【答案】D 【解析】试题分析：令=，则()()x x f f⋅=⋅，又()()()[]()()[]2222442a a x a x x a a x x f f⋅+⋅-=⋅-=⋅，所以()()[]04422=⋅+⋅-a a x a x ，化简为()()0122=-⋅a a x，所以0=a ，或是1=a，满足条件的只有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21，故选D. 考点：向量的运算【方法点睛】本题考查了向量的运算和任意性的问题，属于中档题型，如果给了一个抽象的式子，并且是对任意实数都成立时，那么就要考虑赋值法了，有时令其中一个变量为特殊值，或是本题，令x y=，这样就达到减少变量的目的了，代入条件后就是一道向量运算的问题了，当然向量的数量积运算也要过关.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB的值为 ． 【答案】4考点：三角函数的恒等变换 14.已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 【答案】3 【解析】考点：基本不等式15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=2，AD=DC=1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==-，则AP AQ ⋅的取值范围是 ．【答案】[]20，【解析】试题分析：如图所示，()00，A ,()02，B ,()11，C ,()10，D , ()()()()()λλλλ,2111111-=--+=-+=+=，，, ()()()1,0110λλλ=+=+=+=，，DC AD DQ AD AQ ,所以()()()4923321,,222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+-=⋅-=⋅λλλλλλλλλ,因为[]1,0∈λ，所以[]20，∈⋅,故填：[]2,0.考点：1.坐标法；2.向量数量积的坐标表示.【方法点睛】本题考查了向量中的坐标法，属于中档题型，坐标法是有效处理向量问题的方法，如果图形中有垂直，或是建坐标系后，容易求得各点坐标，那就选择建坐标系，通过坐标运算向量的加，减，数乘或是数量积的运算都比较简单,比如本题，将数量积转化为关于λ的二次函数求取值范围问题.16.已知函数()()R f x x ∈满足()()()4f x f x f x -=-=-，当()0,2x ∈时，()()2ln f x x x b =-+．若函数()f x 在区间[]2,2-上有5个零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】114b <≤或54b =考点：1.函数的性质；2.数形结合;3.函数的零点.【方法点睛】本题考查了函数的性质以及数形结合考察函数零点问题，属于中档题型，在函数中会有一些比较抽象的式子，有关于周期的，对称的，很多同学不太理解，重点说说这些抽象的式子，周期的有()()x f T x f =+，函数的周期为T ,()()b x f a x f -=-，周期为b a -，或是有关半周期的式子()()()()x f x f x f T x f 11-==-=+，这些都说明半周期为T ,或是已知()()()2-1++=x f x f x f ，我们可以再得到()()()3-21++=+x f x f x f ，两式相结合，也可以得到()()3+-=x f x f ，函数的半周期为3，涉及对称性的式子包含轴对称，和点对称，若对任意R x ∈,都有()()x f x f =-说明函数是偶函数，关于y 轴对称，()()x a f x a f -=+，或()()x f x a f =-2，函数关于a x =对称，若满足()()x b f x a f -=+，那么函数关于2ba x +=对称，若对任意R x ∈,都有()()x f x f -=-说明函数是奇函数，关于原点对称，()()x a f x a f -=+-，或()()x f x a f -2=-，函数关于()0,a 对称，若满足()()x b f x a f --=+，那么函数关于⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 对称，理解这些性质，用数形结合就比较容易了. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin A A m =→，)sin ,(cos B B n =→，C n m 2sin =∙→→，且A ，B ，C 分别为△ABC 的三边,,a b c 所对的角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若sin A ，sin C ，sin B 成等比数列，且18)(=-⋅， 求边c 的值．【答案】（Ⅰ）3π=C ;(Ⅱ)6=c .考点：1.三角恒等变换；2.向量数量积.18.（本小题满分12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率． 下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 【答案】(1) 有%5.99的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关;(2)158. 考点：1.独立性检验；2.古典概型.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ， 12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．（1）若DE ∥平面11A MC ，求CE EB； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C 分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．【答案】(1)31;(2)75考点：1.线面平行的位置关系；2.几何体的体积.20.（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：24y x ，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（Ⅰ）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（Ⅱ）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列， 若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)022=--y x ；（Ⅱ）存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列．（Ⅱ）设2(,2)M a a ，1122211122424MA y a y a k y a x a y a --===+--， 同理242MB k y a =+，2221MD a m k a +=+， ∵直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，∴2MD MA MB k k k =+恒成立，即2124444221a m y a y a a +=++++恒成立． ∴212111221a m y a y a a +=++++122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++⇒=++++， 把124y y m +=，124y y =-代入上式，得21(1)()0a m m -+=恒成立，1a ∴=±． ∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列． 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线的位置关系.【方法点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，属于难题，对于本题的第二问，考查的是恒成立的问题，若存在，说明与直线无关，即与直线的斜率无关，可求得定点M,解析几何中有很多未知量，要通过设直线，设点的坐标，再根据条件进行消元，从而化简，例如本题，通过设点D M B A ,,,的坐标表示斜率，再通过直线方程与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，通过消元得到点M 的坐标与直线斜率的关系，组合通过恒成立解决.21.（本小题满分12分）已知函数()11x ax f x e x =--- （Ⅰ）若曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线过()0,1-，求a 的值；（Ⅱ）求证：当1a ≤-时，不等式()ln 0f x x ⋅≥在()()0,11,+∞U 上恒成立． 【答案】(Ⅰ)42e a -=；（Ⅱ）详见解析.考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性；3.导数与不等式的证明;4.分析法.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲∠如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B，C两点，圆心O在PAC 的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；∠+∠的大小．（Ⅱ）求OAM APM90.【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）0考点：圆的相关性质23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=-+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数，0θπ≤≤）． （Ⅰ）求1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数a 取值范围．【答案】（Ⅰ）0=-+a y x ；（Ⅱ）12a -≤<-+.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为()()()2211110x y y +++=-≤≤，为半圆弧，如图所示，曲线1C 为一族平行于直线0x y +=的直线，当直线1C 与曲线2C 相切时，2a =-+当直线1C 过点A 、B 两点时，1a =-，∴由图可知，当12a -≤<-+时，曲线1C 与曲线2C 有两个公共点．考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.数形结合.【易错点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的位置关系，容易出错在第二问，很多同学会忽视参数的取值范围，通过消参后得到圆的方程，转化为直线与圆没有交点，这样就错了，曲线2C 的参数[]πθ，0∈，所以不是完整的圆，二是半圆，1-≥y 的上半圆，表示直线与半圆没有交点，这样通过数形结合得到a 的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()2log 15f x x x a =-+--．（Ⅰ）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）(),4-∞.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.不等式的恒成立的问题.：。