河北省石家庄一中2019-2020学年高一上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={(x,y)|x +y =3}，T ={(x,y)|x −y =1}那么集合S ∩T = ( )A. {2,1}B. (2,1)C. x =2,y =1D. {(2,1)} 2. 函数f(x)=cos(πx −π6)的图象的对称轴方程为( ) A. x =k +23(k ∈Z)B. x =k +13(k ∈Z)C. x =k +16(k ∈Z)D. x =k −13(k ∈Z)3. 已知角α的终边上一点(m,8)，且cosα=−35，则实数m 的值为( )A. 6B. −6C. 10D. −104. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,1)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7B. −7C. 15D. −15 5. 已知f(x)={a x ,x ≤−1(a −3)x +a −5,x >−1在(−∞,+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (0,+∞) B. (−∞,3) C. (0,3) D. (0,2]6. 周长为9，圆心角为1rad 的扇形的面积为( )A. 92B. 94C. πD. 27. 函数f (x )=−4x 2+12x 4的大致图象是( ) A. B.C. D.8. 按数列的排列规律猜想数列23，−45，67，−89，⋅⋅⋅的第10项是( ) A. −1617 B. −1819 C. −2021 D. −2223 9. f(sinx)=cos15x ，则f(cosx)=( )A. sin15xB. cos15xC. −sin15xD. −cos15x10. 已知函数f(x)为定义在[−3,t −2]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，则满足f(−x 2+2x −3)<f(x 2+t5)的x 的取值范围( ) A. (1,+∞) B. (0,1] C. (1,√2]D. [0,√2] 11. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π，且其图象向右平移2π3个单位后得到函数g(x)=sinωx 的图象，则φ等于( )A. 4π9B. 2π9C. π6D. π3 12. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =3EC,CD 与BE 交于点O ，则BOOE =( ) A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设集合A ={x,y}，B ={0,x 2}，若A ，B 相等，则实数x 的值为________，y 的值为__________．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则向量e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．15. 已知cos(α−π6)=√22，则sin(2α+π6)= ______ ． 16. 已知函数f(x)={2,x >m x 2+4x +2,x ≤m，若方程f(x)−x =0恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|2m <x <1−m}．(1)当m =−1时，求A ∪B ；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．18.设a⃗=(3,−sin2x)，b⃗ =(cos2x,√3)，f(x)=a⃗⋅b⃗(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值及取最大值时x的集合．19.设函数f(x)=log2x.(1)解不等式f(x−1)+f(x)>1；(2)设函数g(x)=f(2x+1)+kx，若函数g(x)为偶函数，求实数k的值；)−f(x−3t)|≤1(3)当x∈[t+2,t+3]时，是否存在实数t(其中0<t<1)，使得不等式|f(1x−t 恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．20. 在RtΔABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =6，设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0).(1)当λ=2时，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =18，求λ的值．21. 已知函数f(x)=2sin(13x −π6)，x ∈R ．(1)求f(5π4)的值；(2)若α，β∈[0,π2]，f(3α+π2)=1013，f(3β+2π)=65，求cos(α+β)的值．22. 已知函数f(x)=x 2+x −2，g(x)=|f(x)|−f(x)2，(1)写出函数g(x)的解析式；(2)若直线y =ax +1与曲线y =g(x)有三个不同的交点，求a 的取值范围；-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据题意S ，T 都是点集，利用交集的定义即可求得结果．解：联立{x +y =3x −y =1， 解得{x =2y =1，因此S ∩T ={(2,1)}．故选D ．2.答案：C解析：本题考查了余弦型函数的对称轴方程的求法．属于基础题．根据余弦函数的性质即可求解对称轴方程．解：函数f(x)=cos(πx −π6)，令πx −π6=kπ，k ∈Z ，可得：πx =kπ+π6，k ∈Z ，即x =k +16，k ∈Z ．故选：C ． 3.答案：B解析：解：∵角α的终边上一点(m,8)，且cosα=2=−35，则实数m =−6，故选：B ．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4.答案：B解析：本题考查了向量的数量积和向量的模，由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，得(m +3)2+9=9，得出m =−3，再由向量的数量积计算即可．解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +3,3)，∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，∴(m +3)2+9=9，∴m =−3，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)， ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−9+2=−7． 故选B ．5.答案：D解析：本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题．由条件利用函数的单调性的性质列出不等式组，从而求得a 的取值范围．解：∵函数f(x)={ax ,x ≤−1(a −3)x +a −5,x >−1在(−∞,+∞)上是减函数， ∴{a −3<0a >0−a +3+a −5≤−a, 求得0<a ≤2，故选D ． 6.答案：A本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键． 根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =9，∵圆心角为1rad 的弧长l =r ，∴3r =9，则r =3，l =3，则对应的扇形的面积S =12lr =12×3×3=92．故选A ． 7.答案：D解析：本题主要考查了函数图象的作法，属于基础题．解：当x =1时，f(x)=−4x 2+12x 4=−4×1+12=−32， 故排除A ，B ，C ，故选D ．8.答案：C解析：本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，属于基础题．由数列23，−45，67，−89，….可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n(n 为项数)，分母为奇数2n +1或分母比分子大1.即可得到通项公式．解：由数列23，−45，67，−89，….可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n(n 为项数)，分母为奇数2n +1或分母比分子大1．故可得通项公式a n =(−1)n+1⋅2n 2n+1．∴a 10=(−1)11⋅2021=−2021．9.答案：C解析：−本题考查了函数解析式，诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．将cos x变形为sin(π2 x)，根据已知等式变形，再利用诱导公式化简即可得到结果．解：∵f(sinx)=cos15x，−x))，∴f(cosx)=f(sin(π2=cos(15×(π−x))，2π−15x)，=cos(152−15x)，=cos(8π−π2=cos(π+15x)，2=−sin15x．故选C．10.答案：C解析：根据函数的奇偶性和单调性可得．本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．解：因为函数f(x)为定义在[−3,t−2]上的偶函数，所以−3+t−2=0，t=5，因为函数f(x)为定义在[−3,3]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，)等价于f(−x2+2x−3)<f(−x2−1)，所以f(−x2+2x−3)<f(x2+t5即0≥−x2+2x−3>−x2−1≥−3，1<x≤√2．故选：C．11.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π，则：ω=2π6π=13，则：f(x)=sin(13x +φ)，将函数的图象向右平移2π3个单位后得到：g(x)=sin[13(x −2π3)+φ]=sin 13x ， 即：φ=2π9．故选：B ．直接利用正弦型函数的性质和平移变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，三角函数的平移变换．12.答案：C解析：本题主要考查了向量的运算、向量相等、平面向量基本定理，属于中档题．设BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的两种不同表示，根据向量相等列方程组 求得λ，μ，进一步得解．解：设BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵D 是AB 的中点，AE =3EC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{12μ=1−λ3λ4=1−μ,∴λ=45,μ=25,∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故选C ．13.答案：1；0解析：本题考查集合相等，属于基础题目．分类讨论得出即可．解：∵{x,y}={0,x 2}，若x =0，集合B 不满足集合元素的互异性，不符合题意；∴x ≠0且{y =0x =x 2, 解得x =1，y =0．故答案为1；0．14.答案：23π 解析： 分别求出|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |，|e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ |，(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )(e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ )，从而代入求余弦值，从而求角．本题考查了平面向量的数量积的定义及运算，属于中档题．解：∵单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，∴|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |=√e 1⃗⃗⃗ 2+e 2⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ e 2⃗⃗⃗ =√1+1+2⋅1⋅1⋅cos60°=√3， |e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ |=√1+4−2⋅1⋅1⋅2⋅cos60°=√3，(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )(e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ )=−e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 2+e 2⃗⃗⃗ 2=−12−2+1=−32，设向量e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=−32√3⋅√3=−12， 又，故θ=23π，故答案为：23π．15.答案：0解析：解：∵cos(α−π6)=√22， ∴sin(2α+π6)=cos[π2−(2α+π6)]=cos(π3−2α)=cos[2(α−π6)]=2cos 2(α−π6)−1=2×(√22)2−1=0．故答案为：0．利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式即可求值．本题主要考查了诱导公式及二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．16.答案：[−1,2)解析：本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想．由题意得，函数y =f(x)与函数y =x 有三个不同的交点，结合图象可得出实数m 的取值范围．解：方程f(x)−x =0恰有三个不同的实数根，即函数y =f(x)与函数y =x 有三个不同的交点．如图所示：y =f(x)的图象是一条抛物线的部分加上一条平行于x 轴的射线，函数y =x 的图象s 过原点(0,0)的直线，通过联立方程，分别求出A 点和B 点的坐标：由{y =x y =x 2+4x +2，联立可得{x =−1y =−1,{x =−2y =−2，即A(−1,−1)， 再由{y =x y =2，联立可得{x =2y =2，即B(2,2)， 根据图象的性质可以判断当−1≤m <2时，直线y =x 的与y =f(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)−x =0恰有三个不同的实数根．故答案为[−1,2)．17.答案：解：(1)当m =−1时，B ={x|−2<x <2}，A ∪B ={x|−2<x <3}．(2)由A ⊆B 知{1−m >2m 2m ≤11−m ≥3，解得m ≤−2，即实数m 的取值范围为(−∞,−2]解析：(1)根据并集的定义即可求出，(2)由题意可知{1−m >2m 2m ≤11−m ≥3，解得即可．本题主要考查集合的之间的关系，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．18.答案：解：(1)由题意得，a ⃗ =(3,−sin2x)，b ⃗ =(cos2x,√3)，所以f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =3cos2x −√3sin2x=2√3(√32cos2x −12sin2x)=2√3cos(2x +π6)， 则最小正周期T =2π2=π；(2)由(1)得，f(x)=2√3cos(2x +π6)，当2x +π6=2kπ时，即x =kπ−π12(k ∈Z)，f(x)取到最大值是2√3，此时x 对应集合是{x|x =kπ−π12,k ∈Z}．解析：(1)由题意、数量积的运算、两角和的余弦公式化简f(x)，利用三角函数的周期公式求出的f(x)的最小正周期；(2)由(1)和余弦函数的性质，求出f(x)的最大值及取最大值时x 的集合．本题考查余弦函数的性质，数量积的运算、两角和的余弦公式，以及三角函数的周期公式，熟练掌握公式是解题的关键．19.答案：(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分(4分)，第2小题满分(5分)，第3小题满分(7分)．解(1)log 2x +log 2(x −1)>2，可得：{x >0x −1>0x(x −1)>4， 解得x >2(4分)(给出x <−1或x >2扣1分)(2)g(−x)=g(x)，即log 2(2−x +1)−kx =log 2(2x +1)+kx ，(5分)整理，得(2k +1)x =0，k =−12； (9分)(如g(−1)=g(1)，k =−12，没有证明扣2分)(3)不等式|f(1x−t )−f(x −3t)|≤1恒成立，即|log 21x−t −log 2(x −3t)|=|log 2(x −t)(x −3t)|≤1，(11分) 等价于12≤ℎ(x)=(x −t)(x −3t)≤2恒成立，解ℎ(x)max =ℎ(t +3)≤2,ℎ(x)min =ℎ(t +2)≥12，得t ≤78,t ≥76，综上，不存在t 符合题意． (16分)解析：(1)化简f(x −1)+f(x)>1；利用对数不等式转化为不等式组，求解即可．(2)通过函数g(x)为偶函数，利用偶函数的定义推出方程，即可求实数k 的值；(3)转化不等式|f(1x−t )−f(x −3t)|≤1恒成立，为函数的最值问题，通过绝对值函数的最值，求出t 的取值范围即可．本题考查对数不等式的解法，函数的最值，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力． 20.答案：(1)−36；(2)12解析：如图：(1)当λ=2时，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−36=−36.(2)因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =36λ，∴36λ=18，解得λ=12． 21.答案：解：(1)f(5π4)=2sin(13×5π4−π6)=2sin π4=√2， (2)f(3α+π2)=2sin[13(3α+π2)−π6]=2sinα=1013，即sinα=513， f(3β+2π)=2sin[13(3β+2π)−π6]=2sin(β+π2)=65，即cosβ=35， ∵α∈[0,π2],β∈[−π2,0]， ∴cosα=√1−sin 2α=1213，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=1213⋅35−513(−45)=5665．解析：此题考查了两角和与差公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．(1)直接将x=5π4代入即可求得结果；(2)由函数解析式化简已知两等式求出sinα与cosβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．22.答案：解：(1)当f(x)=x2+x−2≥0，得x≥1或x≤−2，此时g(x)=0；当f(x)=x2+x−2<0，得−2<x<1，此时g(x)=−f(x)−f(x)2=−f(x)．∴g(x)={0,(x≤−2或x≥1)−x2−x+2,(−2<x<1)．(2)当a=0时，直线y=1与曲线y=g(x)只有2个交点，不符题意．当a≠0时，由题意得，直线y=ax+1与曲线y=g(x)在x≤−2或x≥1内必有一个交点，且在−2<x<1的范围内有两个交点．由消去y，得x2+(a+1)x−1=0．令φ(x)=x2+(a+1)x−1，则a应同时满足以下条件：解得−1<a<0或0<a<12，).所以a的取值范围为(−1,0)∪(0,12解析：本题考查了函数的解析式及函数的零点与方程根的关系，考查推理计算能力，为中档题．(1)由题意对f(x)≥0，f(x)<0讨论，即可求得g(x)的解析式；(2)讨论a=0和a≠0的情况，联立，得x2+(a+1)x−1=0，令φ(x)=x2+(a+1)x−1，根据条件即可得a的取值范围；。