河北省邢台市第一中学高一直升班上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合2{|1}A x x ==，2{|2}B x x x ==，则A B =（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．{0}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】A【解析】解二次方程，化简集合A ，B ，进而求并集即可. 【详解】因为{}1,1A =-，{}0,2B =， 所以{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选A 【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题. 2．若45角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ） A ．3 B ．32-C ．1D ．32【答案】D【解析】利用三角函数定义可得a 的方程，解之即可. 【详解】 因为01tan4514a a +==-，所以32a =. 故选D 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 3．已知sin tan 0αα<，tan 0cos αα<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】利用三角函数式的符号推断角α的终边所在象限. 【详解】因为sin tan 0αα<，所以角α在第二或第三象限，又tan 0cos αα<，所以角α在第三或第四象限， 故角α在第三象限.故选C 【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,2，则2(log f =（ ）A ．BC ．12D ．1【答案】A【解析】设()af x x =，点⎛ ⎝⎭在图像上，解得a 值，进而得到结果. 【详解】设()af x x =，则1222a-==，故12a =-，112211222f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A 【点睛】本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.5．设向量12,e e 是平面内的一组基底，若向量123a e e =--与12b e e λ=-共线，则λ=（ ） A ．13B ．13-C ．3-D ．3【答案】B【解析】由题得存在R μ∈，使得a b μ=，得到关于μ，λ的方程组，解之即得解. 【详解】因为a 与b 共线，所以存在R μ∈，使得a b μ=，即()12123e e e e μλ--=-，故3μ=-，1λμ-=-，解得13λ=-. 【点睛】本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为1005Q x =-，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ） A ．15元 B ．13元C ．11元D ．10元【答案】B【解析】设每天获利y 元，可得()()10056100020y x x x =---<≤（），结合二次函数的图像与性质求最值即可. 【详解】设每天获利y 元，则()()()210056100513145y x x x =---=--+ 由0x >，10050Q x =-≥，得020x <≤， 故当13x =时，每天获利最大. 故选B 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 7．设函数1,{|21,}()1,{|2,}x x x k k Z g x x x x k k Z -∈=-∈⎧=⎨∈=∈⎩，则下列结论不正确的是（ ）A ．()g x 的值域为{1,1}-B ．()g x 不是单调函数C ．()g x 是奇函数D ．()g x 是周期函数 【答案】C【解析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】,A B 选项显然正确；因为x 与x -的奇偶性相同，所以()()g x g x -=，故()g x 是偶函数，C 选项不正确；()g x 是以2为周期的周期函数，D 选项正确.故选C 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力.8．已知1(0,5)P ，2(2,1)P -，3(1,4)P -，则向量12PP 在向量13PP 方向上的投影是（ ） A ．4 B ．210C ．22D．105【答案】C【解析】求出1213PP PP ，的坐标，利用12131213·cos PP PP PP PP θ=即可得到结果.【详解】因为()122,6PP =-，()131,1PP =--，1213·4PP PP =，132PP =，所以12131213·cos 222PP PP PP PP θ===. 故选C 【点睛】本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题． 9．函数()sin()f x x ωφ=+(0,)2πωφ><的部分图像如图所示，以下说法：①()f x 的单调递减区间是[21,25]k k ++，k Z ∈； ②()f x 的最小正周期是4；③()f x 的图像关于直线3x =-对称； ④()f x 的图像可由函数sin 4y x π=的图像向左平移一个单位长度得到.正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由图像可知()f x 的周期为8，可得ω，进而得到ϕ，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】由图像可知()f x 的周期为8，故284ππω==，()sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将点()1,1代入解析式，得1sin 4πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故242k ππϕπ+=+，所以24k πϕπ=+，k Z ∈因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故①②错，③④正确.故选B 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.10．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【解析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题. 11．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ）A ．()1sin f x x =--B ．()1sin f x x =-C ．()1cos f x x =--D ．()1cos f x x =-【答案】C 【解析】当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果.【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．1711【答案】D【解析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-，同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩， 解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知半径为2的扇形OAB 的弦长AB =__________． 【答案】π【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果. 【详解】在OAB ∆中，2228AB OA OB =+=， 故2AOB π∠=，故弧长22l ππ=⨯=故答案为π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 14．函数1()1x f x x +=-，[2,6]x ∈的最大值为__________． 【答案】3【解析】利用函数的单调性即可得到最大值. 【详解】因为()12111x f x x x +==+--在[]2,6上单调递减， 所以()()max 23f x f == 故答案为3 【点睛】本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题.15．已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______． 【答案】34-【解析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】()()()()()()tan tan 173tan2tan 1tan tan 1174αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯,故答案为34- 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.16．若函数222,1()43,1x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是__________． 【答案】1{|12}3a a α≤<≥或或写成1[,1)[2,)3⋃+∞ 【解析】对a 分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可. 【详解】①当2a ≥时，因为当1x <时，22x <，故()2xf x a =-无零点，所以，当1x ≥时，()()()22433f x x ax a x a x a =-+=--有2个零点，1x a =，23x a =，故2a ≥；②当02a <<时，因为当1x <时，()2xf x a =-有1个零点2log x a =，所以当1x ≥时，()()()3f x x a x a =--只能有1个零点，3x a =，故131a a <⎧⎨≥⎩，解得113a ≤<；③当0a ≤时，()f x 无零点综上，实数a 的取值范围是1{|12}3a a a ≤<≥或. 故答案为1{|12}3a a α≤<≥或 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题17．已知集合A 是函数2log (62)y x =-的定义域，集合{|11}B x x a =-<-≤.（1）当1a =-时，求A B ；（2）当AB B =时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|23}AB x x =-<<（2）{|12}a a ≤<【解析】(1) 当1a =-时,化简集合A 与B ，进而求并集即可； （2）由A B B ⋂=可知B A ⊆，转化为不等式组，即可得到结果. 【详解】 （1）依题意得：620210xx ->⎧⎨-≥⎩， 即0322x x <⎧⎨≥⎩，解得03x ≤<，即{|03}A x x =≤< 当1a =-时，{|111}{|20}B x x x x =-<+≤=-<≤ 所以{|23}A B x x ⋃=-<< （2）集合{|11}B x a x a =-<≤+ 由A B B ⋂=，得B A ⊆， 故1013a a -≥⎧⎨+<⎩，解得12a ≤<.故实数a 的取值范围为{|12}a a ≤<. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．18．已知α为第二象限角，3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππαααπααπαπ-+-=----. （1）化简：()f α； （2）若3tan 4α=-，求()f α的值. 【答案】（1）()cos f αα=-（2）45【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用同角关系即可得到()f α的值.【详解】（1）因为()()()()3sin cos tan 22tan sin f ππαααπααπαπ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---- 所以()()()cos sin tan tan sin f αααααπαπ=⎡⎤-+-+⎣⎦所以()cos sin tan cos tan sin f ααααααα==--（2）因为sin 3tan cos 4ααα==-， 所以3sin cos 4αα=-，代入得216cos 25α=，因为α为第二象限角，所以4cos 5α=-，故()4cos 5f αα=-=【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力. 19．设单位向量1,e 2e 的夹角是3π，且()122,a e e =-+1245b e e =-. （1）求||a ； （2）求a 与b 的夹角.【答案】（1）7a =；（2）2π【解析】1）根据平面向量的数量积求a 的模长a ；（2）根据向量的数量积的运算律计算0a b =得出a b ⊥，即a 与b 的夹角为2π． 【详解】解：（1）单位向量1e ，2e 的夹角是3π， 则121e e ==，12111cos 32e e π=⨯⨯=； 又()122a e e =-+，所以2221122144414172a e e e e =++=⨯+⨯+=，所以7a =；（2）由1245b e e =-，则()()1212245a b e e e e =-+-221122865e e e e =-++1816512=-⨯+⨯+⨯0=，所以a b ⊥， 所以a 与b 的夹角为2π． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，属于基础题． 20．已知函数的图像经过点.（1）求的值以及的单调递减区间；（2）当时，求使成立的的取值集合.【答案】（1）a=1,的单调递减区间为；（2）【解析】（1）根据函数f （x ）的图象过点求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，求出它的单调递减区间； (2) 由，得,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.【详解】解：（1）因为函数的图像经过点，所以，解得又,由，得故的单调递减区间为（2）由，得 当时，故，解得： 故使成立的的取值集合为.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题． 21．设sin ,sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos ,sin ,4b x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2f x a b =. （1）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，求()f x 的最大值和最小值； （2）已知323f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且当22παπ≤≤时，求()f α的值. 【答案】（1）min ()2f x =-max ()1f x =；（2）()25f α-=【解析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质可求出函数在给定区间上的最值；（2）由已知可得3cos sin αα-=，从而得到22cos sin 03αα=>，再根据22παπ≤≤，即可得到sin 0α<，cos 0α<，从而求出5cos sin 3αα+=-，即可求出cos2α，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解：（1）因为sin ,sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos ,sin ,4b x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2f x a b =. 所以()22sin cos sin sin 44f x a b x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12sin 2sin sin 2424x x x πππ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭sin 22sin cos 44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 24x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 2sin 22x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当38x π=-即242x ππ+=-时，()f x 取最小值，min ()f x = 当0x =即244x ππ+=时，()f x 取最大值，max ()1f x =；（2）因为2f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，243f απα⎛⎫⎛⎫∴-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 3αα∴-=，两边平方得，112cos sin 3αα∴-=，22cos sin 3αα∴=，2sin 23α∴=又22παπ≤≤，cos 0α∴<，sin 0α<，()225cos sin 12cos sin 133αααα∴+=+=+=cos sin 3αα∴+=-()()cos 2cos sin cos sin ααααα⎛∴=+-== ⎝⎭()2sin 2cos cos 2sin sin 2cos 2444f πππαααααα⎛⎫⎫∴=+=+=+=⎪⎪⎝⎭⎭ 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22．已知函数()log )a f x x =（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(0,+)∞上的单调性，并证明你的结论；（3）当1a >时，若不等式()0f f mx +-<对于(0,+)x ∈∞恒成立，求m 的最大值.【答案】（1）奇函数（2）详见解析（3）1 【解析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）利用单调性的定义判断即可；（3mx >对0x >恒成立，然后变量分离，转求最值即可. 【详解】（1）因为函数())log a f x x =的定义域为R ，所以()))()log log log aa af x x x f x ⎛⎫-===-=-所以函数()f x 为奇函数. （2）()))log log log aa af x x x ⎛⎫===-当1a >时，()f x 在()0,+∞上是减函数，当01a <<时，()f x 在()0,+∞上是增函数，证明如下：()))log log aaf x x x ==-任取120x x <<，则()()))1221log log aaf x f x x x -=-因为210x x >>，所以2221x x >>21x x >所以当1a >时，))21log log aax x >，()()120f x f x ->，所以()()12f x f x >，故函数()f x 在()0,+∞上是减函数.所以当01a <<时，))21log log aax x <，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，故函数()f x 在()0,+∞上是增函数.（3）由（1）知，()f x 是奇函数，()0ff mx +-<，即()ff mx <.当1a >时，由（2）知，()f x 在()0,+∞上是减函数，从而在(),-∞+∞上是减函数，mx >对0x >恒成立，即m <0x >恒成立.因为y =()0,+∞上是减函数，所以y =()1,+∞. 所以1m ≤，故实数m 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．。