因式分解的十二种方法01、提公因法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

【例1】分解因式32
2
x x x
--(2003
淮安市中考题) 解：原式()
221
x x x
=--02、应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

【例2】分解因式22
44
a a
b b
++(2003
南通市中考题)
解：原式()22a b
=+
03、分组分解法：要把多项式am an bm bn
+++分解因式，可先把它前两项
分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组并提出公因式b，从
而得到()()
a m n
b m n
+++，又可以提出公因式
()
m n
+，从而得到()()
a b m n
++。

【例3】分解因式255
m n mn m
+--
解：原式
()()()() 25555 m m m n n m =--+= 04、十字相乘法：
对于2m x p x q
++形式的多项式，若ab m cd q
==
、
且ac bd p+=，则2m x p x q++可
因式分解为()()
ax d bx c
++
【例4】分解因式2
7196
x x
--
解：原式()()
372
x x
=-+ 05、配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

【例5】分解因式2340
x x
+-
解：原式
222 2
333 340
222
x x x
⎛⎫⎛⎫
=++-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭06、拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

【例6】分解因式()()()
bc b c ca c a ab a b
++--+
解：原式()()()
b c a b c a =++-+ 07、换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中
的相同的部分换
成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

【例7】分解因式432262
x x x x ---+
解
：
原
式
()()()
()
2
4
2
2
2
2
221
1
6211
1x x
x x x x x x
=+-
+-
=
+
-+
令21
y x =+，则原式
()()
22210225y xy x y x y x =--=+-
∴原式()()()()()222
122151221x x x x x x x ⎡⎤=+++-=+--⎣⎦
08、求根法：令多项式
()0
f x =，求出其根123n
x x x x 、、、…、，则多项
式
()
f x 可因式分解
为
()()()()()
123n f x x x x x x x x x =----…。

【例8】分解因式
432272136
x x x x +--+
解
：
令
()4
3
2
2
7
2
f
x x
=+-，
通过综合除
法可知()0
f x =的根分别为
13212
--、、、， 则
原式()(
)(
)(
)21321
x
x x
x
=-++-
09、图象法：令
()
y f x =，做出函数
()
y f x =的图象，找到它与
x
轴的交点
12n
x x x 、、…、，则多项式()
f x 可因式
分
解
为()()()()12n
f x x x x x x x =---…
【例9】分解因式
32256
x x x +--
解：令
32256
y x x x =+--，
作出其图象，
如右图所示，
∵与x
轴的交
点分别为
312
--、、， ∴
原式
()()()
312x x x =++-
10、主元法：先选
定一个字母为主元，再把各项按这
个字母次数从高
到低排列，然后进
行因式分解。

【例10】分解因式
()()()
222a b c b c a c a b -+-+-
分析：此题可选定a
为主元，将其按a
的次数从高到低排列 解
：
原
式(
)
()
(
)(
)22
2
2
2
2
22
a b c b c a
b
a c
b c
a =-
+
-
+-=---
11、利用特殊值
法：将2
或10代入x
，
求出数p
，将数p
分
解质因数，将质因数适当的组合，并
将组合后的每一
个因数写成2或
10
的和与差的形式，将2
或10还原成x
，即
得因式分解式。

【例11】分解因
式3292315
x x x +++ 解：令2
x =，则原式105
=，将105
分解
成3个质因数
的积，即
105357
=⨯⨯；注意到
多项式中最
高项的系数
为1，而357、、分
别为135
x x x
+++
、、在
2
x=时的值，则
原式()()()
135
x x x
=+++ 12、待定系数法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

【例12】分解因式432564
x x x x
----
分析：易知该多项式没有一次因式（理由略），因而只能分解为两个二次因式。

解：设
()()
43222564x x x x x ax b x cx d ----=++++
比较系数可得
1564
a c ac
b d ad b
c b
d +=-⎧⎪++=-⎪⎨
+=-⎪⎪=-⎩，解得1124
a b c d =⎧⎪=⎪⎨
=-⎪⎪=-⎩
∴
原
式
()()22124
x x x x =++--。