是连续输出 在c(t采) 样时刻的瞬时值。 脉冲传递函数给出的是两个离散信号之间的传
递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
k 0
k 0
z z 1
z z e10T
(z
z(1 e10T ) 1)(z e10T
)
解二： 查表得
G(s) 1 1 s s 10
G(z)
z z 1
z z e10T
(z
z(1 e10T ) 1)(z e10T
G1
(
z
)
Z
1 s
G(s)
例7-13：系统结构如上图所示，采样周期为1秒，求 其开环脉冲传递函数。其中
G(s) K s(s 1)
➢ 解：
G1(s)
1 G(s) s
K
1 s2
1 s
1 s 1
Go (z)
(1
z 1 )G1 ( z )
K
[1
z 1 ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(z
z 1)2
z
z 1
z
z eT
)
通过采样系统的差分方程，求脉冲传递函数。 例7-11: 若描述采样系统的差分方程为
y(k 2) 0.7 y(k 1) 0.1y(k) 5x(k 1) x(k)
试求其脉冲传递函数。
解：对上面差分方程进行z变换，并令初始条件为0， 有
z2Y (z) 0.7zY (z) 0.1Y (z) 5zX (z) X (z) G(z) Y(z) 5z 1
函数，其中
解：
G1 ( s)
s
1
a
1 G2 (s) s b
G1 ( s)G2
(s)
b
1
a
s
1
a
s
1
b
G(z) G1G2 (z)
b
1
a
(z
z(eaT ebT ) eaT )(z ebT
)
(2)串联环节间有采样开关且同步时的脉冲传递函数
G1 ( z )
G(z)
G2 (z)
X (z) z2 0.7z 0.1
3．串联环节的脉冲传递函数
（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数
R(s)
R*(s)
G1(s)
T
G(z) X (s)
G(s) G2 (s)
C*(s) C(s)
G(z) Z[G1(s)G2 (s)] G1G2 (z)
➢ 例7-11：系统结构如上图所示，求开环脉冲传递
后离散信号g *(t)的z变换。
(2) 系统响应速度越快，g(t)衰减越快，G(z)展开式
中包含项越少。
(3) 如果已知R(z)和G(z)，则在零初始条件下，线
性定常离散系统的输出采样信号为：
c(t) Z 1[C(z)] Z 1[G(z) R(z)]
注意：经虚设采样开关得到的脉冲序列 c (反t) 映的
C(z) G(z)R(z)
G(z) g(nT )zn Z[g(t)] Z{L1[G(s)]} @Z[G(s)] n0
可见：
G(z) g(nT )zn Z[g(t)] Z{L1[G(s)]} @Z[G(s)] G(s) sz n0
(1) 脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经采样
➢ 此时，脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积。
➢ 例7-12：系统结构如上图所示，求开环脉冲传递函数，
其中
➢ 解：
G1
(s)
s
1
a
,
G2
(s)
s
1
b
由于 所以
G1
(z)
Z[G1
(s)]
z
z eaT
z G2 (z) Z[G2 (s)] z ebT
G(
z)
G1
(z)gG2
(z)
(
z
eaT
统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之
比。
c(nT )zn
G(z)
C(z) R(z)
n0
r(nT )zn
n0
虚拟采样开关
2. 单个环节脉冲传递函数的推导
➢ 当输入信号为如下的脉冲序列时
r(t) r(nT ) (t nT ) n0
➢ 根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即
e (z)
E(z) R(z)
1
1 GH (z)
R*(s)
R(s) + E(s)
-
Y (s)
E*(s)
T
G(s) H (s)
C*(s) C(s)
C(s) G(s)E(s)
Y
(s)
G(s)
H
(s
)
E
(s)
E(s) R(s) Y (s)
K (ze1 1 2e1) (z 1)(z e1)
0.368K(z 0.717) (z 1)(z 0.368)
4.闭环脉冲传递函数(闭环离散系统没有唯一结构)
R*(s)
R(s) + E(s)
-
Y (s)
E*(s)
T
G(s) H (s)
C*(s) C(s)
(z) C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
R(s)
R*(s)
X (s)
X *(s)
G1(s)
T
G2 (s)
T
C*(s) C(s)
C(s) X (s)
G2 (s) G1(s)
X *(s) R* (s)
取z变换
C(z)
X
(
z)
G2 (z) G1(z)
X (z) R(z)
G(z) Z[G1 (s)]gZ[G2 (s)] G1 (z)gG2 (z) G1 (z)gG2 (z) G1 G2 (z)