23
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）
方程各项取旋度（ ）：
（2）、（5）、（6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零）
（3） V
V V V V V
t
2
整理合并后，有：
d d t 1 2 p • V • V 2
就是涡度方程，或者称之为弗里德曼—亥姆霍兹方程 。
25
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（1）力管项或斜压项 它表明了压力—密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其 物理实质是流体的斜压性。 （2）散度项 它表明了流体在运动过程中体积的收缩或膨胀，将会引起 流体涡度矢的变化。 （3）扭曲项 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。 （4）粘性扩散项 涡度分布的非均匀性引起的。
dt
3
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为： 2 V ( V ) ( V ) D
将其代入运动方程，整理后可得到：
d d V t F 1 p 3 4 D
18
d d V t F 1 p 3 4 D
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
白天（夜间）
海洋
陆地
海风（陆风）
山谷风
22
第二节 涡度方程
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
d V V ( V • ) V 1 P g 2 V ( • V )
d t t
3
方程的平流项变换：
方程变为 ：V•V V 22 V V
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ；
流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运 动为有旋的。
3
一般情况：流体运动可以表示为：
VV V 无旋运动
涡旋运动 ★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
4
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
26
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（1）力管项或斜压项 当流体是斜压时，等密度面与等压面不平行，是斜交的。 在三维图中构成了管状分布，称之为力管（当流体的等密 度面与等压面斜交时，以相邻等密度面与相邻等压面为周 界，可以构成一条管道，称之为力管） 当流体正压时，等密度面与等压面平行，力管项为零
dd t ddV t dl Fdl1pdldl43Ddl
F d l 1 pd l d l4 3 ( D )d
F d l 1 p d l d l
19
d d t d d V t d l F d l 1 p d l d l
（1） （2）
（3）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： （1）非有势力的作用，例如：柯氏力； （2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； （3）粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关）
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度
( V )• n l i 0 m /
流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值
反映了流体涡度与速度环流之间的联系。
7
一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）
环流随时间的变化率（环流的加速度）
d d t d d t ( l V d l ) l ( d d V t d l ) l [ V d ( d d t l ) ]
29
d 1
d l t F • d l l P • d l l( ) d l
非有势力
斜压作用
粘性扩散项
d ( 1 ) P ( • V ) ( • ) V 2 dt
斜压作用
பைடு நூலகம்
散度项
扭曲项 粘性扩散项
30
第五章小结
（1）速度环流的基本概念 凯尔文速度环流守恒定理 皮叶克尼斯定理的应用
（2）涡度方程及其讨论、涡度变化的原因
31
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
下面来考虑特定条件下的 d dt
（1）理想流体
运动方程（欧拉方程）： ddV tF 1p
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
环线 l （形状大小可变，由
流点组成的闭合曲线）。
l
速度环流的定义 V•dl l
它反映了流体沿曲线 l 运动的趋势，是标量，但具有
一定的方向性。
5
lV•dl
l
如取定曲线方向：
>0，流体有顺
对应气旋环流）；
l
运动的趋势，（逆时针为正方向，
<0，流体有逆 l 运动的趋势，（顺时针为负方向，对
应反气旋环流）。
20
环流方程的进一步讨论（主要是斜压项的讨论及应用）
若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：
dd t (1)pd
称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜 压性）引起环流的变化。
进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退 化为了Kelvin环流定理：
d 0 dt
21
皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简 单解释
环流加速度
加速度环流
8
d d t d d t ( l V d l ) l ( d d V t d l ) l [ V d ( d d t l ) ]
V d ( d l ) V d V d ( V 2 / 2 ) 0
l d t l
l
d d t d d t(lV d l) l(d d V td l)
16
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
17
二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
d V F 1 p 2 V • V
27
涡度方程讨论：
d d t 1 2 p • V • V 2
（2）散度项 考虑流点有散度（有相对体积变化），则辐散使涡度减小 ，辐合使涡度增大
28
进一步讨论：
1.当不考虑流体粘性时，粘性扩散项不出现 2.散度项和扭曲项对个别流点可引起其涡度变化，但对 流体整体而言，这两项不会引起流体整体涡度的变化 （流体中辐合辐散共存，其作用使涡度重新分布，但不 改变整体结果；扭曲项也是使涡度重新分配） 3.真正直接引起流点涡度矢变化的是流体的斜压性
斜压流体：
f(p ,T , )
等压面、等密度面斜交
14
（3）假设流体是正压的 f(p)
d dt
l
dV dt
dl
(
1
)
p
d
0
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
24
V t V 2 2 V 1 p g 3 ( V ) 2 V
（1）（2） （3）（4）（5） （6） （7）
（4） 1 p 1 p 1 2 p
可得到方程：
V • • V • V 1 p 2
F
11
ddV tF 1p
F
环流变化方程：
d dt
l
(
dV dt
dl
)
l
dl
l
1
p
dl
( )d
梯度取旋度为零
l
1
p
dl
l
1pdl
12
将线积分转化为面积分
1pdl
(p)d
(1)p1(p)d
(1)pd
梯度取旋度为零
13
正压流体：
f(p)
等压面、等密度面、 等温面重合（平行）
第五章 涡旋动力学基础
流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。
台风
龙卷
1
大尺度海洋环流
2
因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。
流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的 一个重要物理量。