专题38以几何图形为载体的应用题数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题，常见的处理方法是结合实际问题，利用图形中的几何关系建立数学模型，应用相关数学知识予以解决.如图38-1所示，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)．图38-1(1)探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？考查应用题是江苏的一大特色，除个别年份以外，每年的高考应用题都配有一个图形，其中以平面图形居多，本题也不例外，本题的解题思路是分析图形特征及已知条件，选择适当的变量，法一选用角度∠P AQ＝θ作为变量，注意到本题的图形特点，换元t＝tanθ后将题中的l和S表示为t的函数，最后利用函数知识求结果.如图38-2所示，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD .现要在该区域内修建观赏景观，在△APQ 区域和△CPQ 区域中分别种花和铺设草坪，设三角形△APQ 和△CPQ 的面积分别为S 1和S 2，记视觉效果为Ω＝S 2S 1(Ω的值越大，视觉效果越好)，试问怎样设计该景观，使得游客观赏景观的视角效果最好？图38-2如图38-3所示，有一块矩形草坪ABCD ，AB ＝100米，BC ＝503米，欲在这块草坪内铺设三条小路OE ，EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF ＝90°.图38-3(1)设∠BOE ＝α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．(2020泰州模拟)如图38-4所示，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点．现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P (不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，P A ，PB .已知OA ＝2 km ，∠AOB ＝π3.记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y km.图38-4 (1)将y 表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；(2)请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．(2020·常州模拟)某公园要设计如图38-5所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图38-6中所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图38－6中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.(1) 若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格的外框总长度；(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．图38-5 图38-6(2019·江苏卷) 如图38-7，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB ＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．图38-7(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)．求当d最小时，P，Q两点间的距离．(本小题满分14分)(2020·苏州模拟)如图38-10所示，B，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100 km，海岛A在城市B的正东方50 km处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角α＜θ＜π2，其中锐角α的正切值为12航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C .已知船速为25 km/h ，车速为75 km/h.(1)试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；图38-10(2)试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．(1)f (θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2； (2)在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少．(1)由题意，轮船航行的方位角为θ，所以∠BAP ＝90°－θ，AB ＝50，则AP ＝50cos(90°－θ)＝50sin θ，BP ＝50tan(90°－θ)＝50sin(90°－θ)cos(90°－θ)＝50cos θsin θ. …………………………………………………………………………………2分(求AP ，BP 用θ表示)PC ＝100－BP ＝100－50cos θsin θ.由A 到P 所用的时间为t 1＝AP 25＝2sin θ，……………………………………………………………4分(求出A 到P 的时间t 1(用θ表示))由P 到C 所用的时间为t 2＝100－50cos θsin θ75＝43－2cos θ3sin θ， ……………………………………………………………………………6分(求出P 到C 所用的时间t 2(用θ表示))所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为f (θ)＝t 1＋t 2＝2sin θ＋43－2cos θ3sin θ＝6－2cos θ3sin θ＋43.…………………………………………………………………8分(求由A 经P 到C 所用的时间关于θ的函数f (θ))函数f (θ)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2，其中锐角α的正切值为12. (2)由(1)，f (θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2，f ′(θ)＝6－18cos θ9sin 2θ， 令f ′(θ)＝0，解得cos θ＝13，设θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使cos θ0＝13 ………………………………………………………………10分 (求f (θ)的导函数f ′(θ)．并求出f ′(θ)＝0时θ的值)…………………………………………………………………………………………………12分(列表判断f (θ)的单调性)所以如表38-1所示，当θ＝θ0时函数f (θ)取得最小值，此时BP＝50cosθ0sinθ0＝2522≈17.68 km，答：在BC上选择距离B为17.68 km处为登陆点，所用时间最少．…………………………………………………………………14分(求出f(θ)的最小值以此时BP的值)(注：结果保留根号，不扣分)答题模板第一步：在Rt△ABP中，求出AP，BP(用θ表示)；第二步：求出A到P的时间t1；第三步：用θ表示P到C所用的时间t2；第四步：写出A经P到C所用的时间关于θ的函数f(θ)；第五步：求f(θ)的导函数f′(θ)，并求f′(θ)＝0时cosθ的值；第六步：判断f(θ)的单调性；第七步：由f(θ)的单调性得f(θ)取最小值时的cosθ的值进而求出BP.作业评价如图38-11所示，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？图38-11(2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图38-12所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.图38-12(2019·南通二模)图38-14是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图38-15，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ(0<θ<π4)．(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？图38-14图38-15(2020·泰州模拟)如图38-17所示，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，P A，PB.已知OA＝2 km，∠AOB＝π3.记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y km.(1)将y表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；(2)请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．图38-17。