一、必答题
什么是线性方程组的系数矩阵和增广矩阵？
答：系数矩阵：方程组左边各方程的系数作为矩阵就是此方程的系数矩阵。

増广矩阵：将非齐次方程右边作为列向量加在系数矩阵后就是增广矩阵其次方程有非零解的条件是系数矩阵的秩小于N 就是说未知数的个数大于方程的个数。

1、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。

1231231232322
21x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩
2、求解上述线性方程组
二、从下列两题中任选一题作答
1、(a)什么是逆矩阵？
(b)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程11(2)T E C B A C ---=，试求矩阵A ，其
中1232012300120001B --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1201012000120001C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

（a ）设A 是一个n 阶矩阵，若存在另一个n 阶矩阵B ，使
得： AB=BA=E ，则称方阵A 可逆，并称方阵B 是A 的逆矩阵
（b ）
2、(a)什么是向量组的极大线性无关组？
(b)判断
向量组()()()123=1320=70143=2101T T T ααα-、、、
()()45=5162=2-141T T
αα、是否线性无关。

(c) 求出一个向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

三、从下列两题中任选一题作答
1、（a ）阐述方阵的特征值和特征向量的定义。

对于方阵a,存在一个非零向量x 和实数λ，使得ax=λx 成立，则称λ为矩阵的特征值，x 称为a 相对于λ的特征向量。

延伸：
由ax-λx=0得(a-λe)x=0.
该方程有非零解的等价条件为|a-λe|=0
因此要求a 的特征值，即求满足这个行列式的λ值即可；而特征向量就是该线性方程组的非零解。

(b)求解矩阵3-1711⎛⎫ ⎪⎝⎭
的特征值和特征向量。

3、已知二次型
222(,,)2332f x y z x y z yz =+++。

(a)写出二次型对应的实对称阵。

(b)
验证10000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝
为正交矩阵。

(c)用上述正交矩阵将二次型变换为二次型的标准型。