线性代数期末考试试题含
答案
The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题
一、 填空题（每空3分，共15分）
1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222
111
c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333
222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________
3. A 为3阶方阵，且2
1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________
5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____
二、选择题（每题3分，共15分）
6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-032231
3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解
(C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解
7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A
8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221
131211
a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12
9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ）
(A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B
10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
（A ）任意r 个列向量线性无关
(B) 必有某r 个列向量线性无关
(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组
(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示
三、计算题（每题7分，共21分）
11. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300041003A 。

求1)2(--E A
12. 计算行列式1111111
1111
1111
1--+---+---x x x x
13. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002a A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b B 00020001相似，求a 和b 的值
四、计算题（每题7分，共14分）
14. 设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11k ξ，求k 的值
15. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λα113,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111β（1）问λ为何值时，321,,ααα线性无关（2）当321,,ααα线性无关时，将β表示成它们的线性组合
五、证明题（每题7分，共14分）
16. 设3阶方阵0≠B ，B 的每一列都是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321
321321x x x x x x x x x λ的解
（1）求λ的值（2）证明：0=B
17. 已知4321,,,αααα为n 维线性无关向量，设
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=0,1,0,144332211α
βα
βα
βαβ，证明：向量4321,,,ββββ线性无关
六、 解答题（10分）
18．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λ
λλλ321321321)1(3)1(0
)1(x x x x x x x x x ，满足什么条件时，方程组
（1） 有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解
七、解答题（11分）
19. 已知二次型32212
322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次
型为标准型。

（一）1、20 2、44 t - 32716
- 40,21====n n λλλ 5、 n
（二）ACCDB
（三）11、⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-1000212
1001 12、(4x ) 13、(2,0-==b a )
（四）14、(2-=k 或0=k ) 15、(32121
)1(2121)2(1)1(ααλαβλ+--=-≠)
（五）16 ( )2(1)1(=λ略 ) 17略
（六）18、( (1)3-≠λ且0≠λ;(2)0=λ;(3)3-=λ,解略) （七）19、(5,2,1-=λ,其余略)。