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线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。

2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。

3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。

4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。

二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。

每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。

( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。

( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,则A A =-1。

( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。

每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。

① n 2② 12-n ③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。

① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。

① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆③ 若B A +可逆,则 B A -可逆④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( )① 解向量② 基础解系 ③ 通解④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分,共63分)1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++。

解·2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求B 。

解.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B 3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。

4. 问a 取何值时,下列向量组线性相关123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解当方程组有无穷多解时求其通解。

① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A 的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)若A 是n 阶方阵,且,I AA =T ,1-=A 证明 0=+I A 。

其中I 为单位矩阵。

×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5 2. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯,4. 相关5. E A 3-二、判断正误 1. ×2. √3. √4. √5. ×三、单项选择题 1. ③ 2. ③ 3. ③ 4. ② 5. ①四、计算题 1. 2.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B 3.4.)22()12(812121212121212321-+=------=a a aa aa a a ,,当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ,,线性相关。

5.① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.则 ()34321=a a a a r ,,,,其中321a a a ,,构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.特征值1321===λλλ,对于λ1=1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题∴()02=+A I , ∵()0=+A I一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。

每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,则必有( )(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有( ) (A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。

3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( ) (A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( ) (A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,则a = 。

8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是 。

三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式1111111111111111xx D y y+-=+-10、计算n 阶行列式四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。

写出证明过程) 11、若向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关。

证明: (1) 1α能有23,αα线性表出; (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。

12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+。

证明(1) (())()2E f A E A E ++=; (2) (())f f A A =。

五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。

解答应写出文字说明或演算步骤)13、设200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。

14、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321xa x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解。

求a 的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知1η,2η,3η是它的三个解向量,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη求该方程组的通解。

解答和评分标准一、选择题1、C ;2、D ;3、A ;4、A 。

二、填空题5、-125;6、2π;7、-1;8、53>t 。

三、计算题9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:第二列减第一列,第四列减第三列得:00011000011x x D y y-=- (4分)按第一行展开得 按第三列展开得2201x D xyx y y-=-=。

(4分)10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n i i x 13,再通过行列式的变换化为上三角形行列式2212113313nn n n i i n x x x x D x x x =+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑ (4分)1133n n i i x -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ (4分) 四、证明题 11、证明:(1)、 因为332,ααα,线性无关,所以32αα,线性无关。

, 又321ααα,,线性相关,故1α能由32αα,线性表出。

(4分) 123()3r ααα=,,,(2)、(反正法)若不,则4α能由321,ααα,线性表出, 不妨设3322114ααααk k k ++=。

由(1)知,1α能由32αα,线性表出, 不妨设32211αααt t +=。

所以3322322114)(αααααk k t t k +++=,这表明432,ααα,线性相关,矛盾。

12、证明(1)1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-= (4分)(2)1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+由(1)得:11[()]()2E f A E A -+=+,代入上式得11()()22E A E A A =+--= (4分)五、解答题 13、解:(1)由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=,22λ=,35λ=。

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