- ’s=0——后继屈服函数 ，而 ’s=’s( p)，

’s
B
s A
o
O’
p e

C
BC
A
’s s

o
O’
s’’
合金钢 -
包辛格效应
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极
限 ’’s s ——称为包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
,
y
或
Me
s
bh 2 6
——最大弹性弯矩
弹塑性阶段：Mp M Me
弯矩继续增大，截面
s
s
s
上塑性区域向中间扩展，
-
y0 -
-
塑性区域内的应力保持
不变，截面上弯矩为 M A x ydA
2b

+s
h/2 y0 +
s
y0 0

s

y y0

ydy
去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。 2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比
较，发现静水压力对初始屈服应力 s 没有影响。
结论：静水压力与塑性变形无关。
第二节 一维问题弹塑性分析
拉压杆的弹塑性问题
N1
EA
P
N2
x
图示为两端固定的等截面杆(超静定杆)， a
b
设材料为理想弹塑性材料，在 x=a 处
I

应力张量 ij 存在三个不变量 、 和 。
Ⅰ
ii ，
Ⅱ

1 2
(
2
ij ij ) ，



(








ij
jk ki )
类似、 和 的定义，。
1.可求应力偏量 sij 的三个不变量：
J1 sii s11 s22 s33 0
（b a）作用一逐渐增大的力 P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s

（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
a

N1a EA
,
b


N2b EA
，代入变形协调方程为
N1a N2b 0 EA EA
，
或
N2 N1 a b
由于 b a，所以 N1 N2 ，将 N 2 N1 a b 代入平衡方程。
s

Et (
s)
s

Et E
E (
s)

s E
Et

s (1
Et E
)

Et
s (1
)

Et
o s

Et E 1
线性强化弹塑性模型
在实际问题中当弹性应变 e p 塑性应变时，可忽略弹性变
形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
小结：
（1）在弹性阶段（ s）：= e 应力应变关系一一对应力。 （2）当应力达到初始屈服条件（ =s 时），材料进入弹塑性阶 段， = e+ p，应力－应变关系不再是一一对应关系，而要考虑加
载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，屈服条件采
用初始屈服条件。对于无明显屈服流动且强化阶段较高的材料，将有
1 6
x y 2 y z 2 z x
2

1 4
2 xy


2 yz


2 zx
在主轴方向：
J
* 2

1 6
1
2 2

2
3 2
3
1 2
第三不变量：
e1 0
J
* 3

eij

0
e2
0
P Pe (1 a b)b Pa (P Pe )b
EA
EA(1 a b)
(3)塑性解：
P
N1=sA , N2=sA
Pp
则最大荷载 Pp=2sA——极限荷载 Pe
这时杆件变形显著增加， 丧失承载能力。
e

梁的弹塑性弯曲 1. 假设：
(1)材料为理想弹塑性;
s
(2)平截面假设(适用于 l h);
-s

(3) 截面上正应力 x 对变形影响为主要的;
2.梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:
(1) 梁的弯矩
M
x
M
在线弹性阶段
y
My
b
I
弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me
h
z
在截面上 y=h/2 处，
max
s

Meh 2I

Me bh2 6
1 6
s11 s22 2 s22 s33 2 s33 s11 2 s122 s223 s321
0 s11 s22 s33 2 s121 s222 s323 2s11s22 2s22s33 2s33s11
J2

1 3

2 1
或
1 3J 2 e ——等效应力
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
1
e
3J2
3 2
sij sij
主轴方向
2 2
1 2 2 2－3 2 3－12

1 3
s13

s
3 2

s33
0 0 s3

利用 s1 s2 s3 3 0
2.应变偏量 eij 的三个不变量：
第一不变量： J1* 0
第二不变量：
J
* 2


1 2
J
*2 1

eij eij

1 2
eij eij
1 6
e11 e22 2 e22 e33 2 e33 e11 2 e122 e223 e321
截面形状

1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或


M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I


Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得


s Ey0
，
或
y0

s E
s
-
+
+ -
+
=
+
s
-
+-
s

M I
y
x


s
y0
y
M I
y


s
M I
y
y y0 y0 y y0
y y0
3.梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
x
Mh
z
y b
h

y
y
F2
s
-
-
-
z
+
+ + F1
s
s
s
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增 大，中性轴的位置而变化。

y
x
h2
s
y y0
y0
s ydy
+
s

b
s

h2 4

y02 3

当
y0=h/2
时： M
Me

b
s

h2 4

h2 12



s
bh 6
2
——最大弹性弯矩
当
y0=0
时： M

M
p

s bh 2 4
——极限弯矩
令 =Mp/Me=1.5（矩形截面）—— 截面形状系数。

s =s

Et s+Et s
o

理想刚塑性模型
o

线性强化刚塑性模型
1.3 金属材料在静水压力实验： 前人（Bridgmen）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力
联合实验，得到下列结果：
1. 在静水压力(高压) p 作用下，金属体积应变 e=V/V=p/k 成 正比，当 p 达到或超过金属材料的s 时，e 与 p 仍成正比；并且除
P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加（a 段进入塑
性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于 b 段杆的变形


b

N2b EA

(P
s A)b EA
Pe s A(1 a b) , s A Pe (1 a b)
第十一章 塑性力学基础知识
第一节 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单向拉压实验： 不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。
C
s A B

’s
BC
s A
o p ep e